combinación de dos secuencias que converge a la derivada de la función f.

Question

He visto la siguiente afirmación en algún otro post: Dado $f$ es diferenciable en $x$ . Sea $\{x_n\}$ y $\{y_n\}$ sean dos secuencias que convergen a $x$ y $x_n > y_n$ para todos $n$ . Entonces $\frac{f(x_n)-f(y_n)}{x_n-y_n}$ converge a $f'(x)$ . Este resultado parece intuitivo, pero no he encontrado la manera de demostrarlo formalmente.

Answer 1

Si $y_n<x<x_n$ entonces $\frac {f(x_n)-f(y_n)} {x_n-y_n} -f'(x)= [\frac {f(x_n)-f(x)} {x_n-x}-f'(x)] \frac {x_n-x} {x_n-y_n} +[\frac {f(x)-f(y_n)} {x-y_n}-f'(x)] \frac {x-y_n} {x_n-y_n}$ e identidades similares se cumplen cuando $x<y_n<x_n$ y cuando $y_n<x_n<x$ . a partir de estas identidades es fácil ver que el lado izquierdo tiende a $0$ .