Construcción de esferas exóticas

Question

Milnor estaba construyendo esferas exóticas (al menos en dimensión 7) mediante la teoría de los haces. Habiendo demostrado la existencia de tal bestia exótica, me pregunto si algo así es posible:

Dejemos que $\mathbb{S}^n$ sea la n-esfera con una estructura estándar, $\Sigma^n$ ser una de las esferas exóticas. Topológicamente, tenemos $\mathbb{S}^n = \mathbb{D}^n \cup_{\partial\mathbb{D}^n} \mathbb{D}^n$ donde se entiende la identificación de los límites.

Pregunta: ¿existe un $g:\partial\mathbb{D}^n \rightarrow \partial\mathbb{D}^n$ donde no especifico (a propósito) qué tipo de mapa $g$ es, tal que $\mathbb{D}^n \cup_g \mathbb{D}^n = \Sigma^n$ ?

Answer 1

Sí. Este procedimiento se llama agarrando (y las esferas resultantes son Esferas agarradas o esferas retorcidas En este procedimiento $g$ es un difeomorfismo.

Si $g$ se extiende a un difeomorfismo de toda la bola, es fácil ver que $\Sigma$ es difeomorfo a la esfera estándar. Por otro lado, como $g$ se extiende a un homeomorfismo de toda la bola (por el truco de Alexander), $\Sigma$ es homeomorfo a la bola estándar.

Un teorema de Smale garantiza que en la dimensión $>4$ toda esfera exótica puede ser construida de esta manera. En la dimensión $\leq 3$ Sabemos que no hay esferas exóticas. Y en la dimensión $4$ no existe ninguna esfera exótica de agarre (porque todo difeomorfismo de $S^3$ se extiende a $D^4$ (un teorema debido a Cerf), pero todavía no sabemos si existen esferas exóticas.