El cierre normal es el subgrupo normal mínimo

Question

El siguiente problema es del libro "Finite Group Theory" de Martin Isaacs.

(2.A.7) Sea $S \lhd \lhd G$ (S es subnormal en G), donde $S$ es no abeliano y simple y $G$ es finito. Muestra que $S^{G}$, el cierre normal de $G$ es el subgrupo normal mínimo en $G$

PISTA: Trabaja por inducción en $|G|$ para concluir que $S \subseteq \text{Soc}(H)$ siempre que $S \subseteq H$. Deduce que cada conjugado de $S$ en $G$ es un subgrupo normal mínimo de $S^{G}$. Luego aplica el problema anterior al grupo $S^{G}$, donde $X$ es el conjunto de todos los conjugados de $G$-de S.

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He tenido dificultades con la primera parte de la pista. Intenté probar la afirmación, como dijo el autor, pero tengo problemas con el paso inductivo. Para $|G| = 1$ la afirmación es obviamente cierta. Ahora asumo que es válida para cualquier $H$, tal que $|H| < |G|$. Ahora si $S = G$, entonces la afirmación sigue de la simplicidad de $S$. Si $S < G$ entonces para cualquier subgrupo propio $H$ de $G$, tal que $S \le H$ tenemos que $S = S \cap H \lhd \lhd G \cap H = H$, entonces por la hipótesis inductiva $S \subseteq \text{Soc}(H)$

Pero no puedo hacer el paso inductivo, es decir $S \subseteq \text{Soc}(G)$. Sabemos que $S \cap \text{Soc}(G) \unlhd S$, entonces de la simplicidad de $S$ tenemos que $S \cap \text{Soc}(G) = \{e\}$ o $S \cap \text{Soc}(G) = S$. Es fácil tratar con el segundo caso, ya que inmediatamente obtenemos $S \subseteq \text{Soc}(G)$. Pero no puedo hacer nada acerca del primer caso. Parece que necesitamos usar el hecho de que $S$ es no abeliano, ya que si $S$ es una involución no central en $G=D_8$ obtenemos que $S$ es subnormal en $G$ y simple, pero $S \not \subseteq \text{Soc}(G) = Z(G)$. La única forma en la que veo cómo usar el hecho de que $S$ es no abeliano es demostrando que $S$ está contenido en un centro de un subgrupo y derivar así una contradicción, pero no pude hacer ningún progreso en esta dirección. Además, no veo cómo podemos usar la hipótesis inductiva para esta parte, ya que no es necesariamente cierto en general que $\text{Soc}(H) \subseteq \text{Soc}(G)$.

Gran parte del problema parece girar en torno al problema mencionado anteriormente, el cual he probado. La afirmación es que si $X$ es una colección de subgrupos normales mínimos de $G$, entonces $N = \Pi \ X$ es un producto directo de algunos miembros de $X$ y además un producto directo de grupos simples. Además, dice que cualquier subgrupo normal y no abeliano de $G$ contenido en $N$ contiene un miembro de $X$. Desafortunadamente no veo cómo podemos usar este problema hasta la última etapa de la prueba.

Answer 1

Dado que $S$ es subnormal en $G$ y podemos asumir que $S \ne G$, existe un subgrupo normal propio $K$ de $G$ con $S\le K$. Entonces, mediante inducción aplicada a $K$, sabemos que $S^K$ es un subgrupo normal mínimo de $K$ y es un producto directo de conjugados de $S$ en $K.

Ahora $S^G$ está generado por conjugados de $S^K$ en $G, cada uno de los cuales es un subgrupo normal mínimo de $K. Así que por el problema anterior aplicado a $K, $S^G$ es un producto directo de conjugados de $S^K$ y por tanto un producto directo de conjugados de $S.

Sea $L$ un subgrupo normal mínimo de $G$ que está contenido en $S^G. Entonces, nuevamente usando el problema anterior aplicado a $K, $L$ es un subgrupo no abeliano normal de $K$ y por lo tanto debe contener uno de los conjugados de $S^K$. Pero entonces, dado que $L$ es normal en $G, contiene todos esos conjugados, y por lo tanto $S \le L \le {\rm Soc}(G).