Es un hecho bien conocido que el movimiento browniano es casi seguro localmente $\alpha$ -Hölder continua para $\alpha\in(0,1/2)$ . Esto se utiliza a veces junto con el siguiente resultado relativo a la dimensión de Hausdorff -- al demostrar el Teorema de McKean, por ejemplo (es decir, la Proposición 2 reforzada a la igualdad).
Proposición 1. Sea $(M,d_1)$ et $(N,d_2)$ sean dos espacios métricos, y $f:M\to N$ a ( globalmente ) $\gamma$ -Función continua de Hölder con $\gamma$ -Constante de Hölder $L$ . Entonces tenemos, para todos $\alpha\geq0$ y para todos los subconjuntos $A$ de $M$ que \begin{equation*} \mathcal{H}^{\infty}_{\alpha/\gamma}(f(A))\leq L^{\alpha/\gamma}\cdot\mathcal{H}^{\infty}_{\alpha}(A) \end{equation*} En particular, tenemos que $\dim f(A)\leq\frac{1}{\gamma}\dim A$ . $\Diamond$
Aquí, denotamos por $\mathcal{H}^{\infty}_{\alpha}(A)$ lo ilimitado $\alpha$ -Contenido de Hausdorff de $A$ . A continuación, se utiliza la Proposición 1, de alguna manera, para demostrar que
Proposición 2. Sea $\{B(t):t\geq0\}$ sea $d$ -y fijamos un subconjunto $A$ de $[0,\infty)$ . Entonces, casi seguro, $\dim B(A)\leq\min(2\dim A,d)$ . $\Diamond$
puesto que ya sabemos que el movimiento browniano es casi seguro localmente $\alpha$ -Hölder continuo. Mi pregunta es: ¿Cómo podemos salvar la distancia que nos separa de la continuidad de Hölder en la Proposición 1 a sólo local ¿Continuidad de Hölder?
Todos los libros a los que he echado un vistazo ignoran la distinción entre los dos - o simplemente comentan que es suficiente si $f$ sólo es localmente continua de Hölder, sin aportar ninguna prueba. Esto se hace, por ejemplo, en Movimiento browniano (2010) de Peter Mörters y Yuval Peres, con la observación 4.15 de la página 102 ( aquí es un pdf de acceso público, facilitado por la Universidad de Bath). Parece que las tres tesis/ensayos de licenciatura aquí , aquí et aquí se han basado en esa observación sin más justificación. Por otra parte, los libros que tratan la medida de Hausdorff por Falconer (2003) et Mattila (1995) sólo enuncian resultados para funciones globalmente continuas de Hölder, y no mencionan versiones reforzadas para la continuidad local de Hölder.
Hasta ahora, he intentado lo siguiente para demostrar la Proposición 1 para funciones localmente continuas de Hölder, pero no he avanzado mucho.
Proposición 3. Si $(M,d_1)$ es un espacio métrico separable, podemos sustituir la condición " $f$ es $\gamma$ -Hölder continua" en la Proposición 1 con " $f$ es localmente $\gamma$ -Hölder continua en todas partes". $\Diamond$
Intento de prueba. Desde $M$ es separable, existe un subconjunto contable y denso $X$ de $M$ . Entonces, como $f$ es localmente $\gamma$ -Hölder continua en todas partes, existe, para cada punto $x$ en $X$ dos constantes $\delta_{x}>0$ et $L_{x}\geq0$ de modo que para todos $y\in M$ con $d_1(x,y)<\delta_x$ tenemos $d_2(f(x),f(y))\leq L_x\cdot\left(d_1(x,y)\right)^{\gamma}$ . En $X$ es denso en $M$ tenemos \begin{equation*} f(A)=\bigcup_{x\in X}f(B(x,\delta_x)) \end{equation*} y así, por estabilidad contable de $\mathcal{H}^{\infty}_{\alpha}$ y por la Proposición 1, basta con demostrar que $f\vert_{B(x,\delta_x)}$ es $\gamma$ -Hölder continua para todo $x\in X$ . De hecho, fijar $x\in X$ y que $y,z$ sean dos puntos en $B(x,\delta_x)$ . Vemos que \begin{equation*} d_2(f(x),f(y))\leq L_{x}\cdot\left(d_1(x,y)\right)^{\gamma},\quad d_2(f(x),f(z))\leq L_{x}\cdot\left(d_1(x,z)\right)^{\gamma} \end{equation*} y, por lo tanto, que \begin{equation*} d_2(f(y),f(z))\leq L_{x}\cdot\left(d_1(x,y)\right)^{\gamma}+L_{x}\cdot\left(d_1(x,z)\right)^{\gamma} \end{equation*} ¿Cómo continuar? $\Diamond$
Las definiciones de continuidad de Hölder y continuidad local de Hölder a las que me refiero son las siguientes.
Definición. Sea $(M,d_1)$ et $(N,d_2)$ sean dos espacios métricos, $f:M\to N$ una función y $\gamma>0$ una constante. Entonces decimos que $f$ es $\gamma$ -Hölder continua si existe una constante $L\geq0$ de modo que, para todos $x,y\in M$ , \begin{equation*} d_2(f(x),f(y))\leq L\cdot\left(d_1(x,y)\right)^{\gamma} \end{equation*} Entonces también decimos que $f$ tiene $\gamma$ -Constante de Hölder $L$ . $\Diamond$
Definición. Sea $(M,d_1)$ et $(N,d_2)$ sean dos espacios métricos, $f:M\to N$ una función, $\gamma>0$ una constante y $x\in M$ un punto. Entonces decimos que $f$ es localmente $\gamma$ -Hölder continuo en $x$ si existen constantes $\delta>0$ et $L\geq0$ de modo que, para todos $y\in M$ con $d_1(x,y)<\delta$ , \begin{equation*} d_2(f(x),f(y))\leq L\cdot\left(d_1(x,y)\right)^{\gamma} \end{equation*} Entonces también decimos que $f$ tiene local $\gamma$ -Constante de Hölder $L$ en $x$ . $\Diamond$
Definición. Sea $(M,d)$ sea un espacio métrico y $E$ un subconjunto de $M$ . Para $\alpha\geq0$ definimos el ilimitado $\alpha$ -Contenido de Hausdorff de $E$ por \begin{equation*} \mathcal{H}_{\alpha}^{\infty}(E):=\inf\left\{\sum_n\left\vert F_n\right\vert^{\alpha}:\{F_n\}_n\text{ is a cover of }E\right\} \end{equation*} Además, definimos la dimensión de Hausdorff de $E$ por \begin{equation*} \dim E:=\inf\{\alpha\in[0,\infty):\mathcal{H}_{\alpha}^{\infty}(E)=0\} \end{equation*} Tenga en cuenta que tanto $\mathcal{H}_{\alpha}^{\infty}(E)$ et $\dim E$ son posiblemente infinitas. $\Diamond$
