¿Cómo demostrar la regla de sucesión sin cálculo?

Question

Según la regla de sucesión si tenemos una prioridad uniforme sobre $[0,1]$ para la probabilidad $p$ de una moneda para mostrar cara y ha mostrado cara en $s$ de $n$ ensayos, entonces la probabilidad de que el siguiente ensayo dé cara es $\frac{s+1}{n+2}$ . Esto se deduce típicamente por integración (por ejemplo, en el artículo de Wikipedia enlazado anteriormente), pero parece que debería tener una demostración más elegante que no implique cálculo, como en el caso de ¿Por qué todos los tamaños de subconjunto son equiprobables si los elementos se incluyen independientemente con probabilidad uniforme sobre $[0,1]$ ?

Por cierto, esto también produciría una prueba sin cálculo de que el Urna Pólya modela una moneda con probabilidad $p$ elegidos aleatoriamente de manera uniforme entre $[0,1]$ ya que las bolas extraídas de la urna Pólya siguen la regla de sucesión por construcción.

Answer 1

El mismo planteamiento que en mi respuesta a ¿Por qué todos los tamaños de subconjunto son equiprobables si los elementos se incluyen independientemente con probabilidad uniforme sobre $[0,1]$ ? se puede utilizar. Elegimos la probabilidad $p$ para la moneda uniformemente al azar de $[0,1]$ y luego simulamos lanzar esta moneda eligiendo un número $r$ uniformemente al azar de $[0,1]$ con el resultado cabezas si $r\lt p$ . En $n$ ensayos, hemos elegido $n+1$ números (incluidos $p$ ) de forma independiente y uniforme a partir de $[0,1]$ y si $s$ de las pruebas arrojaron cabezas, el rango de $p$ entre estos $n+1$ números es $s+1$ . Para el siguiente ensayo, elegiremos de nuevo un número uniformemente entre $[0,1]$ y tiene la misma probabilidad de insertarse en el orden de los otros $n+1$ números en cualquiera de los $n+2$ lugares posibles. De estos, $s+1$ son los siguientes $p$ por lo que la probabilidad de que sea inferior a $p$ es $\frac{s+1}{n+2}$ .