Estoy intentando hacer el ejercicio 3.10 de Computing the Continuous Discretely de Beck-Robbins.
Para un polinomio $p(t) = c_d t^d + c_{d-1}t^{d-1} + \cdots + c_0$ , dejemos que $H_p(z)$ se define por \begin{equation} \sum_{t \ge 0}p(t) z^t =\frac{H_p(z)}{(1 - z)^{d+1}}. \end{equation}
Consideremos el mapa lineal $\phi_d : Pol_d \to Pol_d, p \mapsto H_P.$
Queremos calcular la matriz que describe $\phi_d$ para $d = 0, 1, 2,\dots$ entonces fijamos una base $\mathcal{B}=\{1, t, \dots t^d\}$ de $Pol_d.$
Para $d=1$ tenemos \begin{equation} \sum_{t \ge 0} z^t =\frac{1}{1 - z}=\frac{H_1(z)}{(1 - z)^2} \Rightarrow H_1(z)=1-z \end{equation} en general es fácil comprobar que $H_1(z)=(1-z)^d=\sum_{a=0}^d \binom{d}{a}(-1)^kz^k.$ Derivamos y así \begin{equation} \sum_{t \ge 0} t z^t =\frac{z}{(1 - z)^2}=\frac{H_t(z)}{(1 - z)^2} \Rightarrow H_t(z)=z \end{equation} en general es fácil comprobar que $H_t(z)=z(1-z)^{d-1}=\sum_{a=0}^d \binom{d}{a}(-1)^kz^{k+1}.$ Por lo tanto $$[\phi_1]_{\mathcal{B}}=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{matrix}\right]$$
Para $d=2$ ya hemos visto que $H_1(z)=(1-z)^2=1-2z+z^2$ y $H_t(z)=z(1-z)=z-z^2$ derivamos de nuevo y así \begin{equation} \sum_{t \ge 0} t^2 z^t =\frac{z(z+1)}{(1 - z)^3}=\frac{H_{t^2}(z)}{(1 - z)^3} \Rightarrow H_{t^2}(z)=z(z+1) \end{equation}
en general es fácil comprobar que $H_{t^2}(z)=z(z+1)(1-z)^{d-2}=\sum_{a=0}^d \binom{d}{a}(-1)^kz^{k+1}(z+1).$ Por lo tanto
$$[\phi_2]_{\mathcal{B}}=\left[\begin{matrix} 1 & 0 &0\\ -2 & 1 & 1\\1 & -1 & 1 \end{matrix}\right].$$
Siguiendo recursivamente el proceso anterior hemos observado que en general
$H_{1}=(1-z)^d$
$H_{t}=z(1-z)^{d-1}$
$H_{t^2}=z(z+1)(1-z)^{d-2}$
$H_{t^3}=z(z^2+4z+1)(1-z)^{d-3}$
$H_{t^4}=z(z^3+11z^2+11z+1)(1-z)^{d-3}$
$H_{t^5}=z(z^4+26z^2+66z^2+26z+1)(1-z)^{d-3}$ ect...
El problema es que no hemos encontrado la recurrencia. ¿Tiene alguna otra idea para este problema?
