Variedades como los esquemas de

Question

Algunas preguntas acerca de los esquemas y variedades, uno muy básico. Me siguen las definiciones dadas en Hartshorne.

En primer lugar, mi pregunta principal. Entendí que Grothendiecks introducción de esquemas de revolucionó el tema. Sólo por curiosidad, ¿me podría dar algunos ejemplos de teoremas de técnicas acerca de las variedades que sería difícil o imposible probar sin el lenguaje de los esquemas?

A continuación, algunas más preguntas básicas. Aprendí acerca de los esquemas de primera y, a continuación, acerca de las variedades (que es muy raro, lo sé), así que tipo de perdidas el proceso natural de verlo como una ampliación de la categoría. Por supuesto afín variedades se dan como esquemas por la Especificación functor. Ahora, para la primera pregunta, estoy en lo correcto en el siguiente razonamiento? Tomar una variedad proyectiva $V \subset \mathbb{P}^n$, dado por un ideal $I(V) \subset k[x_0,\ldots, x_n]$, entonces el correspondiente esquema de es$\text{Proj}(k[x_0,\ldots, x_n]/I(V))$, ¿verdad?

Me parece justo, pero se siente un poco resbaladizo. Así que si alguien podría decir sí o no con alguna breve explicación o de fondo que sería genial.

Por el camino me di cuenta de que a diferencia de los afín caso en el que hay una equivalencia entre las variedades y los anillos, aquí anillos que no son isomorfos puede dar isomorfo variedades proyectivas, ¿verdad? ($\mathbb{C}[x,y]$$\mathbb{C}[x,y,z]/(xz - y^2)$ supongo que, ciertamente, no isomorfos de los anillos, pero cada plano de la cónica es isomorfo a $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$)

Ahora suponiendo que esto sea cierto, Especificaciones y Proj básicamente dan todas las variedades, debido a que el cuasi afín y cuasi variedades proyectivas son simplemente subschemes.

Así que me preguntaba si podríamos, de hecho, obtener todos los esquemas de esta manera, permitiendo general de los anillos en el anterior. Pero esta es, probablemente, irremediablemente ingenua. Yo estaba pensando en un ejemplo, y parecía que el afín a la línea con dos orígenes (con más de un algebraicamente cerrado de campo), derivado por el encolado de dos copias de $\mathbb{A}^1$ a cada uno de los otros en todas partes, excepto en el origen es un buen uno. No me imagino a este ser incrustado en algún afín o proyectiva del espacio.

Para poner esto en una pregunta: dado un esquema genérico, podría dar una intuitiva "probabilidad" de si el esquema es en realidad la Especificación o Proj de algunos de anillo/clasificados anillo? Como en, cómo los "grandes" de este subconjunto de los esquemas? (supongo que es casi todo o casi nada..)

También, surge la pregunta: si el afín línea es un esquema de derivada por encolado, ¿por qué no podemos permitir que tales esquemas de variedades? En otras palabras, ¿por qué no podemos definir las variedades localmente anillado espacios localmente isomorfo a afín variedades? Recuerdo leer que Weil definidas realmente les gusta esto. Hay una razón obvia por la que Hartshorne no siguen este enfoque? Probablemente es una cuestión de gustos, pero me parece raro para mí para definir los esquemas de algunos "localmente afín" de la propiedad, aunque no siguiendo el mismo enfoque en la subcategoría de variedades! De hecho, el enfoque de las variedades es el opuesto del local, siempre hay algún espacio ambiente!

Debo decir que no he leído todas las páginas de Hartshorne, así que podría haber perdido algo.

Como usted debe haber notado por ahora, mis preguntas son principalmente la motivación y el fondo, excepto el de Proj de un anillo. Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Edit: Ya es todo un cuento largo, me voy a resumir las preguntas sin respuesta hasta el momento.

• Es verdad que una variedad proyectiva con el ideal de $I$ es dado como un esquema de $\text{Proj}(k[x_0,\ldots, x_n]/I)$? Así que de esto se sigue que cada variedad es Proj de las Especificaciones de algunos de anillo, o una abierta subscheme de un esquema obtenido de esta manera?

• ¿En qué medida el mismo asidero de esquemas, como en "¿cuántos" los esquemas son Proj o Especificación de algunos de anillo, o una abierta subscheme de uno de esos? (por supuesto que solo requieren de una respuesta intuitiva y no hay que esperar riguroso de matemáticas) O podemos caracterizar realmente los esquemas, son por ejemplo siempre separados?

• Parece extraño para mí para definir un esquema de un local de propiedad (local afín), pero de una variedad en el viejo lenguaje como un subconjunto de algún espacio ambiente. Hay una buena razón para hacerlo, o se hace differenlty en otro lugar y hacer que usted tiene un de referencia de esta?

Joachim

Answer 1

• Para su pregunta sobre variedades proyectivas y Proj, la respuesta es sí.

• Especificación de un anillo, y Proj de graduado anillo, siempre están separadas, y estar separados es heredado por abrir subschemes, por lo que no separados de los esquemas de dar ejemplos de esquemas que no son ni cuasi-affine (es decir, abierta en un esquema afín) ni abrir en una Proj. [Por otro lado, tenga en cuenta que para las variedades, cuasi-afín (se abre en una variedad afín) implica cuasi-proyectiva (abierto en una variedad proyectiva), porque afín espacio está abierto en el espacio proyectivo de la misma dimensión, mientras que para cualquier anillo de $A$, si tomamos $A[T]$ graduado anillo poniendo $A$ grado $0$ $T$ grado $1$, luego Proj $A[T] = $ Espec $A$, así se abrirá en una Proj subsume la posibilidad de ser abierto en un esquema afín.]

• Como usted escribió, Weil, de hecho, introdujo el concepto de "resumen variedad algebraica", que es un objeto que a nivel local es una variedad afín. En Hartshorne Ch. II, asimismo define una variedad de más de $k$ a ser separados de la integral finita tipo de $k$-esquema, de modo cuasi-projectivity que no se asume. Es conveniente que en la Cad. Me imponer cuasi-projectivity sólo porque le permite llegar a algunos de los ejemplos triviales y teoremas sin tener que gastar para siempre en las bases. También, se toma un poco de esfuerzo para escribir no cuasi-variedades proyectivas; no tienden a tropezar con ellos en principiantes ejercicios y construcciones. [Weil introdujo el concepto porque a partir de su definición original/construcción de la Jacobiana de una curva de más de $k$, no era claro que el Jacobiano se proyectiva.]

Answer 2

Las construcciones del espectro $Spec(A)$ de graduado anillo y de $Proj (A)$ están más relacionados de lo que uno podría pensar.

Por ejemplo, supongamos $A=k[X_1,...,X_n]$ para algunos algebraicamente cerrado campo de $k$.
A continuación, con un ideal homogéneo $I\subset A$ puede asociar un proyectiva subvariedad $X=V_+( I)\subset Proj(A)= \mathbb P^{n-1}_k$, pero también los asociados afín cono $C(X)=V(I)\subset Spec(A)=\mathbb A^n_k$.
Geométricamente el cerrado puntos de $C(X)$ se obtuvo mediante la toma de la unión de todas las líneas de $\overline {Op}$ uniendo el origen $O=(X_1,...,X_n)\in \mathbb A^n_k$ a un punto cerrado $p\in X\subset \mathbb P^{n-1}_k$ donde $\mathbb P^{n-1}_k$ es visto como el hyperplane en infinidad de $\mathbb A^n_k$.
Lo que usted tiene que cuidadosamente tener en cuenta es que la variedad proyectiva $X$ y su cono $C(X)$ son definidos por el mismo ideal $I$, pero interpretado de manera diferente.
Y (para responder a una de tus preguntas , sí, las proyectivas subscheme $X=V_+( I)\subset Proj(A)= \mathbb P^{n-1}_k$ es isomorfo al esquema abstracto $Proj(k[X_0,X_1,...,X_n]/I)$.

Un ejemplo concreto
Considere la posibilidad de la cónica $xy=z^2$ $\mathbb P^2(\mathbb C)$ y sus asociados cono $xy=z^2$$\mathbb A^3(\mathbb C)$: la ecuación (o el ideal de $I=(xy-z^2)$) es la misma, pero la interpretación es diferente.
Y, para ilustrar la consideración de los conos, observe que el punto de cierre $p=(x,z)\in X$ (= clásicamente el punto con coordenadas homogéneas $[0:1:0]$) da lugar a la línea de $\overline Op $$x=z=0$$ \mathbb A^3_\mathbb C$, un fallo de la afín cono $C(X)$