Discrepancia entre la solución explícita de la EDO y el análisis de la línea de fase

Question

Supongamos que tenemos la EDO separable,

$$ \frac{dy}{dt} = e^t\frac{y^2-9}{2y}, \;\; y(0) = -5 $$

La solución explícita a este problema es,

$$ y = -\sqrt{9 + 16e^{e^t-1}} $$

Estoy confundido sobre el comportamiento de la solución cuando $t \rightarrow -\infty$ . Según la solución explícita, $y \rightarrow -\sqrt{9 + 16e^{-1}}$ . Sin embargo, si hacemos un análisis de la línea de fase, podemos demostrar que $y = -3$ es un punto estacionario inestable. Así que a medida que retrocedemos en el tiempo, no debería, $y \rightarrow -3$ ? ¿Por qué no coinciden las respuestas?

¿No funciona el análisis de la línea de fase para ecuaciones no autónomas como las anteriores?

Answer 1

No funciona para sistemas no autónomos. Consideremos el cambio de variables $x = e^t$ . Entonces por la regla de la cadena:

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}\frac{dy}{dx} = e^t \frac{dy}{dx}$$

Entonces la ecuación se reduce a

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2-9}{2y}$$

y observe que la solución final pasa a ser

$$y = -\sqrt{9+16e^{x-1}}$$

que se aproxima al punto fijo inestable tal y como esperabas. Uno de pensar en nuestro cambio de variables es que parametrizamos la trayectoria de las líneas de flujo, pero de una manera que no recupera toda la línea.