¿Cuándo se suele utilizar $x=\frac{1-t}{1+t}$ ¿sustitución?

Question

Estaba navegando por el foro y he visto que alguien resolvía la siguiente integral :

$$\displaystyle\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \mathrm{d}x$$

Utilizó la sustitución realmente inteligente $x= \frac{1-t}{1+t}$ pero no tengo ni idea de cómo lo pensó.

Me recuerda ligeramente a la sustitución de la tangente de medio ángulo (¿sustitución de Weierstrass?).

Así que mis preguntas son :

1. ¿Es una sustitución conocida?
2. ¿Cuándo solemos utilizarlo? ¿Existen indicadores?
3. ¿Puede darme un ejemplo en el que funcione bien?

Gracias, señor.

Answer 1

Estos son los ejemplos en los que la sustitución funciona bien.

\begin{align} &\int_0^1 \frac{\ln\left(\frac1x-1\right)}{1+x}dx =\int_0^1 \frac{\ln2}{1+t}dt-\int_0^1 \frac{\ln\left(\frac1t-1\right)}{1+t}dt=\frac12\ln^22\\ \\ &\int_0^1 \frac1{1+x^3}dx =\int_0^1\frac{t+1}{3t^2+1}dt=\frac13\left(\ln2+\frac\pi{\sqrt3}\right)\\ \\ &\int_0^{\pi/4}\tanh^{-1}(\tan x)\ dx\overset{\tan x=\frac{1-t}{1+t}}= \frac12\int_0^1 \frac{\ln t}{1+t^2}dt=\frac12G \\ \end{align}