¿Por qué no definir categorías trianguladas utilizando un functor de cono de mapa?

Question

Recordemos que la definición habitual de una categoría triangulada es una categoría aditiva dotada de una auto equivalencia denominada $[1]$ en el que ciertos diagramas, de la forma $X \to Y \to Z \to X[1]$ se denominan "exactas", ya que satisfacen ciertos axiomas. Dos de estos axiomas son que

(1) Dado $X \to Y$ puede extenderse a un triángulo exacto $X \to Y \to Z \to X[1]$ y

(2) Dado un diagrama conmutativo $$\begin{matrix} X & \to & Y \\ \downarrow & & \downarrow \\ X' & \to & Y' \end{matrix}$$ y triángulos exactos $X \to Y \to Z \to X[1]$ y $X' \to Y' \to Z' \to X'[1]$ existe un mapa $Z \to Z'$ haciendo que el diagrama obvio conmute.

Y, como señalan todas las fuentes sobre categorías trianguladas, uno de los problemas habituales de la teoría es que no hay ninguna declaración de unicidad en estos axiomas. Así que, ¿por qué no hacer una?

Me imagino una definición como la siguiente: Para cualquier categoría $C$ , dejemos que $Ar(C)$ sea la categoría cuyos objetos son diagramas $X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y$ en $C$ y cuyos morfismos son cuadrados conmutativos en $C$ . Obsérvese que existen functores obvios $\mathrm{Source}$ y $\mathrm{Target}$ de $Ar(C) \to C$ y una transformación natural $\mathrm{Source} \to \mathrm{Target}$ . Definamos una categoría cónica como una categoría aditiva $C$ con una autoequivalencia $[1]$ y un functor $\mathrm{Cone} : Ar(C) \to C$ dotado de transformaciones naturales $\mathrm{Target} \to \mathrm{Cone} \to \mathrm{Source}[1]$ cumpliendo ciertos axiomas.

Me he dado cuenta de que hay que tener cuidado en un sitio. En una categoría triangulada, si $X \to Y \to Z \to X[1]$ es exacta, entonces también lo es $Y \to Z \to X[1] \to Y[1]$ (con un cierto cambio de signo). Lo análogo más obvio en una categoría cónica sería que $\mathrm{Cone}(Y \to \mathrm{Cone}(X \to Y))$ a igual $X[1]$ lo correcto es pedir un isomorfismo natural.

Pero todo lo demás parece funcionar bien, al menos en el caso de la categoría homotópica de complejos de cadenas. Y parece mucho más natural. ¿Qué sale mal si se intenta esto?

Sé que este es el tipo de tema en el que la gente tiende a mencionar $\infty$ -categorías; tenga en cuenta que no las entiendo muy bien. Todo lo que he dicho anteriormente sólo utiliza ordinario $1$ -categorías, que yo sepa.

Answer 1

Tomemos $C$ para ser la categoría de complejos de cadenas de grupos abelianos, y clases de homotopía de mapas. ¿Qué quieres que sea el functor cono? Un objeto de $Ar(C)$ consiste en un par de complejos de cadena $X$ y $Y$ junto con una clase de homotopía de mapas en cadena entre ellos. Para construir el cono de mapas de la forma habitual, se necesita un mapa en cadena real, no sólo una clase de homotopía. No creo que esto $C$ apoya la estructura que usted describe.

En su lugar, podría tomar $C$ a ser la categoría más rígida de complejos de cadenas y mapas de cadenas, e intentar axiomatizar la estructura que permite formar $Ho(C)$ y demostrar que $Ho(C)$ está triangulada. Un enfoque consiste en exigir que $C$ es una categoría modelo en el sentido de Quillen, con un axioma de estabilidad adicional. Esto se discute en el libro de Hovey sobre categorías modelo. Si quieres algo más parecido al planteamiento de tu pregunta, puedes consultar el trabajo de Baues. Tiene axiomas para una categoría con un functor cilindro, y desarrolla una rica teoría de homotopía inestable basada en eso, incluyendo secuencias de Puppe. Creo que nunca habla de la condición adicional de estabilidad necesaria para dar una triangulación, pero no puede ser muy difícil. Un tercer enfoque sería utilizar categorías infinitas estables. Ese camino implica un montón de afirmaciones y construcciones que parecen muy sencillas a primera vista, pero tienden a haber un montón de elaborados tecnicismos ocultos por el formalismo que pueden saltar y morderte inesperadamente.

Answer 2

Verdier, Astérisque 239, Cap. II, Prop. 1.2.13 (p. 104) dice que una categoría triangulada (con coproductos o productos contables) equipada con un functor cono tiene que partirse.

Ben Wieland tiene razón - se obtiene un functor de cono cuando se trabaja con derivateurs (o categorías derivadas filtradas), pero ese functor ya no es intrínseco a la categoría base, y hay que llevar categorías diagrama a lo largo.