Siguiendo la amable sugerencia de Ricardo Andrade, esta es una combinación de 4 respuestas, algunas de las cuales no abordan directamente la pregunta original; con las respuestas separadas, como él dijo, se estaba haciendo difícil analizar este hilo. También he reordenado algunos párrafos.
Falta de información detallada y autónoma expositivo prueba de la existencia a corto plazo del flujo de Ricci en la literatura . En cuanto a la respuesta de Deane Yang, en nuestros libros lamentablemente no tenemos una prueba completa y autocontenida de la existencia a corto plazo del flujo de Ricci en variedades cerradas con datos iniciales suaves. Nuestra exposición sigue la interpretación de DeTurck y Hamilton (en su artículo Formation of Singularities), que lo reducen a un sistema estrictamente parabólico. En su blog, Terence Tao ofrece una buena descripción de la prueba de la existencia a corto plazo de sistemas parabólicos en relación con el flujo de Ricci. Sin embargo, sería bueno ver una prueba realmente detallada en la literatura.
En respuesta al primer comentario de Igor Belegradek :
Mi memoria no era precisa en esto. De hecho, lo que Luen-Fai Tam me preguntó (en 2009) concretamente era sobre apelar a la teoría estándar para sistemas parabólicos (para existencia y unicidad) después de aplicar el truco de DeTurck y si yo tenía una referencia para esta teoría estándar. (No conocía un enunciado y demostración detallados de esta teoría que se aplique sobre variedades. Supuse que lo que tenía en mente era extender el teorema de existencia al caso no compacto de curvatura ilimitada o quizá a alguna otra aplicación no estándar, donde sería útil conocer los pormenores de la demostración.
Maletín no compacto . Creo que esto sería útil porque el caso (completo) no compacto para el flujo de Ricci no se entiende bien, aunque existe el trabajo seminal de W.-X. Shi sobre la existencia a corto plazo suponiendo curvatura limitada. Shi sobre la existencia a corto plazo suponiendo curvatura acotada. B.L. Chen y X.P. Zhu demuestran la unicidad del flujo de Ricci en el caso no compacto suponiendo también curvatura acotada. Hace unos años, Luen-Fai Tam me preguntó por una prueba detallada de la existencia, para la que no tenía respuesta. Así que creo que debe haber algunos problemas relacionados muy interesantes, en particular, en el caso no compacto. Por supuesto, están los trabajos de Giesen y Topping mencionados por Igor Belegradek, así como los trabajos de Cabazes-Rivas--Wilking y otros.
Pregunta sobre las estimaciones efectivas . Sobre la cuestión de la dependencia continua, para añadir a lo que dijo Terence Tao, creo que puede haber una manera de obtener algunas estimaciones efectivas, tal vez relacionadas con los cálculos expuestos en la Sección 5 del Capítulo 7 de mi libro con Peng Lu y Lei Ni.
En respuesta al segundo comentario de Igor Belegradek :
Gracias por la información sobre las aplicaciones. He empezado a intentar escribir algo sobre la dependencia continua en la línea que he comentado antes. He encontrado un archivo pdf (5 páginas) en un archivo adjunto de correo electrónico que envié a Deane Yang el 15-03-2011. Poco después, decidí cortar esta sección del libro RF Parte IV (todavía en preparación) y no he sido capaz de localizar el archivo tex todavía, por lo que este archivo pdf sin editar tiene unos párrafos de material no relacionado. Acabo de ponerlo en la URL: http://www.math.ucsd.edu/~benchow/DependenciaContinua.pdf ( Wayback Machine ) Es sólo el comienzo de una idea y puede contener errores graves ya que no ha sido revisado, así que usor emptor . Además, otros métodos, como el mencionado por Terence Tao, pueden ser mucho mejores.
La dependencia continua forma parte de la cuestión más amplia de cómo dependen las soluciones de sus datos iniciales, así como del estudio de familias de soluciones, especialmente familias de 1 parámetro. A continuación se presenta una introducción a algunas herramientas posibles.
Flujo de Ricci linealizado y familias de soluciones . Tangencial a esto (divagando un poco), pero tal vez relacionado, es la cuestión de cómo aplicar algunas estimaciones apriori para el flujo de Ricci linealizado. En particular, no conozco ninguna aplicación realmente útil de la estimación lineal de la traza de Harnack (se supone que está acotada $\operatorname{Rm}\geq0$ que obtuvimos Hamilton y yo (excepto para el análogo de Kaehler de esta estimación, que fue aplicado por Lei Ni); véase también Ni y Tam para una demostración de la estimación lineal de la traza de Harnack en el caso no compacto que no fue demostrada originalmente por Hamilton y yo. Otra estimación posiblemente relacionada es la estimación de pellizco de Greg Anderson y mía para soluciones del flujo de Ricci en dimensión 3; se trata de una extensión de una estimación de pellizco de Hamilton para el flujo de Ricci tridimensional. Brendle utilizó la versión elíptica de esta estimación en su prueba de la unicidad del solitón estable de Bryant. A la vista del trabajo de Brendle, en realidad pienso/espero que quizás combinando la estimación lineal de la traza de Harnack y la versión parabólica de la estimación de pellizco pueda ser un punto de partida para un enfoque que estudie aspectos de las soluciones antiguas tridimensionales. Por supuesto, hay toda una teoría (en cierto sentido, casi completa) sobre esto de Perelman basada en los trabajos y conjeturas anteriores de Hamilton.
Posibles aplicaciones del flujo de Ricci linealizado.
12 de diciembre de 2013 : Esto es un añadido a mi mensaje anterior. La cuestión de la dependencia continua me trae a la mente algunas preguntas sobre lo que se puede demostrar para ( $1$ -parámetro) del flujo de Ricci. Además, cabe preguntarse si existen para el tiempo singular (máximo) en función de la métrica inicial. la métrica inicial.
Existencia de soluciones de tipo II . Una cuestión relacionada con el trabajo de Gu y Zhu (arXiv:0707.0033) es: Dadas dos métricas iniciales $g_{0,0}$ y $g_{1,0}$ en decir $S^{3}$ uno de los cuales se contrae a una punta redonda y otra que forma una $S^{2}\times\mathbb{R}$ singularidad (cuello). ¿Es cierto que para cualquier $1$ -familia de métricas de parámetros $g_{s,0}$ , $s\in\lbrack0,1]$ uniendo las dos, existe $s^{\prime}$ tal que la solución $g_{s^{\prime}}(t)$ avec $g_{s^{\prime}}(0)=g_{s^{\prime} ,0}$ forma una singularidad de tipo II? Por ejemplo, si empezamos con $g_{0,0}$ a esfera redonda y simétrica en rotación y reflexión $g_{1,0}$ formando un cuello (Angenent y Knopf), con el $g_{s,0}$ que tienen las mismas simetrías, debemos obtener para algunos $s^{\prime}$ un cacahuete formando dos solitones Bryant opuestos?
El espacio de 3 dimensiones antiguo $\kappa$ -soluciones . Ciertas estimaciones apriori que pueden ser útiles para su estudio. La conjetura de Perelman es que suponiendo curvatura seccional no compacta y positiva, el solitón de Bryant es la única posibilidad (el resultado de Brendle trabaja en esta dirección.)
Para ampliar también el tercer párrafo de mi post anterior, se tiene la siguientes cálculos heurísticos para el flujo de Ricci linealizado; las las aplicaciones del principio máximo deben justificarse y pueden requerir supuestos adicionales. Dada una invariante métrica riemanniana $T$ de $g$ , dejemos que $D_{v}T$ denotan la variación de $T$ bajo una variación $v$ de $g$ . Tenemos $D_{v}(-2\operatorname{Ric})=\Delta_{L}v-\mathcal{L}_{\operatorname{G}(v)}g$ , donde $\Delta_{L}$ es el laplaciano de Lichnerowicz y $\operatorname{G}(v)=$ $\operatorname{div}v-\frac{1}{2}\nabla\operatorname{tr}v$ (por ejemplo $\operatorname{G}(\operatorname{Ric})=0$ da $\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{Ric}=\Delta_{L}\operatorname{Ric}$ bajo el flujo de Ricci).
Sea $W$ sea un campo vectorial dependiente del tiempo. Entonces $\operatorname{G} (\mathcal{L}_{W}g)=\Delta W+\operatorname{Ric}\left( W\right) $ y, por invariancia de difeomorfismo, $D_{\mathcal{L}_{W}g}(-2\operatorname{Ric} )=-2\mathcal{L}_{W}\operatorname{Ric}=\frac{\partial}{\partial t} (\mathcal{L}_{W}g)-\mathcal{L}_{\frac{\partial W}{\partial t}}g$ . Combinando los resultados anteriores $(\frac{\partial}{\partial t}-\Delta_{L})(\mathcal{L} _{W}g)=\mathcal{L}_{(\frac{\partial}{\partial t}-\Delta-\operatorname{Ric} )\left( W\right) }g$ . Así, por $\frac{\partial}{\partial t} g=-2\operatorname{Ric}$ y la fórmula de Bochner $\Delta=\Delta_{d} +\operatorname{Ric}$ actuando sobre $1$ -formas, si el dual $1$ -forma $W^{\flat }=g(W)$ satisface la ecuación de calor laplaciana de Hodge $(\frac{\partial}{\partial t}-\Delta_{d})W^{\flat}=0$ donde $\Delta_{d}=-(d\circ\delta+\delta\circ d)$ , entonces $(\frac{\partial}{\partial t}-\Delta)|W|^{2}=-2|\nabla W|^{2}\leq0$ y $(\frac{\partial}{\partial t}-\Delta_{L})(\mathcal{L}_{W}g)=0$ .
Podemos intentar atar $|\mathcal{L}_{W}g|$ . Ahora bien, si $g(t)$ es completa, antigua, y no plano de Ricci, entonces $R>0$ (B.-L. Chen). Y, si $n=3$ y $R>0$ entonces $(\frac{\partial}{\partial t}-\Delta_{L})v=0$ implica $(\frac{\partial }{\partial t}-\Delta-\frac{2\nabla R}{R}\cdot\nabla)\frac{\left\vert v\right\vert ^{2}}{R^{2}}\leq0$ (la estimación de pellizco de Greg Anderson). Así pues, si $|v|\leq CR$ en $t=0$ entonces $|v|\leq CR$ para $t>0$ (por ejemplo, un límite para $\frac{|\mathcal{L}_{W}g|}{R}$ se propagará hacia adelante en el tiempo).
Además, para $n\geq2$ y $\operatorname{Rm}\geq0$ y $v\geq0$ están acotados, entonces $\operatorname{div}^{2}v+\left\langle \operatorname{Ric},v\right\rangle +\frac{\operatorname{tr}v}{2t}\geq0$ (traza lineal de Hamilton Harnack). En tenemos $(\frac{\partial}{\partial t}-\Delta)\operatorname{div}W=\left\langle \operatorname{Ric},\mathcal{L}_{W}g\right\rangle $ (ya que $\operatorname{tr} (\Delta_{L}v)=\Delta(\operatorname{tr}v)$ ) y $\operatorname{div} ^{2}(\mathcal{L}_{W}g)=2\Delta\operatorname{div}W+\left\langle \nabla R,W\right\rangle +\left\langle \operatorname{Ric},\mathcal{L}_{W} g\right\rangle $ . Supongamos que $v=\mathcal{L}_{W}g+A\operatorname{Ric}\geq0$ para algunos $A\geq0$ en $t=0$ . Entonces $$ 2\frac{\partial\operatorname{div}W}{\partial t}+\left\langle \nabla R,W\right\rangle +\frac{\operatorname{div}W}{t}+\frac{A}{2}(\frac{\partial R}{\partial t}+\frac{R}{t})\geq0. $$ Teniendo en cuenta la hipótesis $\mathcal{L}_{W}g\geq-A\operatorname{Ric}$ el hecho que $-\frac{\partial\operatorname{div}W}{\partial t}$ tiene algún límite superior y que $\operatorname{div}W=\frac{1}{2}\operatorname{tr}(\mathcal{L}_{W}g)$ da algún límite para $|\mathcal{L}_{W}g|$ hacia atrás en el tiempo. Si la derivada estima $\left\vert \nabla R\right\vert \leq CR^{3/2}$ y $|\frac{\partial R}{\partial t}|\leq CR^{2}$ se mantienen, entonces pueden aplicarse.
Naturalidad de la traza lineal de Harnack desde el punto de vista espacio-temporal. Es la variación de la métrica espacio-temporal y satisface la ecuación de calor laplaciana de Lichnerowicz espacio-temporal.
15 de diciembre de 2013 : Este segundo seguimiento trata de cómo la traza lineal de Harnack surge naturalmente al observar $1$ -de soluciones del flujo de Ricci a partir de la familia punto de vista espacio-temporal. Puede no estar relacionado con problemas de dependencia continua sino más bien con el estudio de espacios de soluciones.
Sea $g(t,s)$ ser un $2$ -familia de métricas de parámetros que satisfacen $\frac{\partial }{\partial t}g=-2\operatorname{Ric}+\mathcal{L}_{W}g$ . En la sección 6 de arXiv:0211350 (Sun-Chin Chu) una función $f(t,s)$ y el campo vectorial $W(t,s)$ son definidos por $e^{-f}d\mu_{g(t,s)}=d\mu_{g(t,0)}$ que es independiente de $s$ , y por $W=\operatorname{tr}_{1,2}^{g(t,s)}(\nabla_{g(t,s)}-\nabla_{g(t,0)})$ , con su correspondiente métrica espacio-temporal: $$ \hat{g}(X,Y)=g(X,Y),\quad\;\hat{g}(T)=g(W)+df,\quad\;\hat{g}(T,T)=R+|W|^{2} +2\frac{\partial f}{\partial t}+N $$ para vectores espaciales $X,Y$ .
La variación de $\hat{g}$ es la traza lineal de Harnack: Sea $T=\frac{\partial }{\partial t}$ . Los siguientes están en $s=0$ . Si $\frac{\partial}{\partial s}g=v$ entonces $$ \frac{\partial}{\partial s}\hat{g}(X,Y)=v(X,Y),\quad\frac{\partial}{\partial s}\hat{g}(T)=\operatorname{div}v,\quad\frac{\partial}{\partial s}\hat {g}(T,T)=\operatorname{div}^{2}v+\left\langle \operatorname{Ric}% ,v\right\rangle . $$ La segunda desigualdad se deduce de $\frac{\partial f}{\partial s} =\frac{\operatorname{tr}v}{2}$ y $\frac{\partial W}{\partial s} =g^{-1}(\operatorname{div}v-\frac{1}{2}d\operatorname{tr}v)$ . En $\frac{\partial R}{\partial s}=\operatorname{div}^{2}v-\Delta\operatorname{tr} v-\left\langle \operatorname{Ric},v\right\rangle $ y $\frac{\partial }{\partial s}(\frac{\partial f}{\partial t})=\frac{\partial}{\partial t} (\frac{\operatorname{tr}v}{2})=\langle\operatorname{Ric},v\rangle+\frac {\Delta\operatorname{tr}v}{2}$ (ya que $\operatorname{tr}(\Delta_{L} v)=\Delta\operatorname{tr}v$ ), obtenemos la tercera desigualdad.
Prueba espacio-temporal de la traza lineal de Harnack.
Además, el teorema de Clairaut implica la fórmula de Harnack de traza lineal: Sea $\hat{v}=\frac{\partial}{\partial s}\hat{g}$ . Entonces $$ \frac{\partial}{\partial t}\hat{v}=\frac{\partial^{2}}{\partial t\partial s}\hat{g}=\frac{\partial^{2}}{\partial s\partial t}\hat{g}=\tilde{\Delta}% _{L}\hat{v}, $$ donde $\tilde{\Delta}_{L}$ es un laplaciano de Lichnerowicz espaciotemporal. A partir de una modificación de ésta se puede demostrar la estimación lineal de la traza de Harnack suponiendo no negativo acotado $\operatorname{Rm}$ y $v$ : Bajo el flujo de Ricci y $(\frac{\partial}{\partial t}-\Delta_{L})v=0$ tenemos $$ \operatorname{div}^{2}v+\langle\operatorname{Ric},v\rangle+2\langle \operatorname{div}v,X\rangle+v(X,X)+\frac{\operatorname{tr}v}{2t}\geq0. $$
La traza lineal Harnack relacionada con $\mathcal{L}$ -geometría y el funcional de entropía de Perelman.
16 de diciembre de 2013 : Esta tercera continuación analiza las relaciones entre la traza lineal de Harnack y de Perelman $\mathcal{L}$ -y su integrando de energía. Esto puede no ser sorprendente ya que la geometría de Perelman presumiblemente debería ocurrir de forma natural cuando estudiar espacios (por ejemplo $1$ -) de soluciones del flujo de Ricci.
Sea $g(\tau)$ sea una solución del flujo de Ricci hacia atrás $\frac{\partial }{\partial\tau}g=2\operatorname{Ric}$ . Dada una ruta $\gamma:\left[ 0,\bar{\tau}\right] \rightarrow\mathcal{M}$ tenemos la de Perelman $\mathcal{L} $ -longitud $\mathcal{L}_{g}(\gamma)=\int_{0}^{\bar{\tau}}\sqrt{\tau} (R_{g}(\gamma(\tau),\tau)+|\gamma^{\prime}(\tau)|_{g(\tau)}^{2})d\tau$ . Sea $v(\tau)$ sea una solución del flujo de Ricci linealizado hacia atrás $\frac{\partial }{\partial\tau}v=-\Delta_{L}v$ donde $\Delta_{L}$ es el Lichnerowicz y consideremos la variación $\frac{\partial}{\partial s}g=v$ .
Utilizando $\frac{\partial R}{\partial s}=\operatorname{div}^{2}v-\Delta \operatorname{tr}v-\langle\operatorname{Ric},v\rangle$ obtenemos $$ \frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}_{g}(\gamma)=\int_{0}^{\bar{\tau}} \sqrt{\tau}(\operatorname{div}^{2}v-\Delta\operatorname{tr}v-\langle \operatorname{Ric},v\rangle+v(\gamma^{\prime},\gamma^{\prime}))d\tau. $$ Desde $\frac{\partial}{\partial\tau}\operatorname{tr}v=-\Delta \operatorname{tr}v-2\langle\operatorname{Ric},v\rangle$ y $\frac{d}{d\tau }(\operatorname{tr}v(\gamma(\tau),\tau))=\frac{\partial}{\partial\tau }\operatorname{tr}v+\langle\nabla\operatorname{tr}v,\gamma^{\prime}\rangle$ , integrando por partes se obtiene $$ \frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}_{g}(\gamma)=\int_{0}^{\bar{\tau}} \sqrt{\tau}(L(v,\gamma^{\prime})-\frac{\operatorname{tr}v}{2\tau})d\tau +\sqrt{\bar{\tau}}\operatorname{tr}v\left( \gamma\left( \bar{\tau}\right) ,\bar{\tau}\right) +\int_{0}^{\bar{\tau}}2\sqrt{\tau}\langle W,\gamma ^{\prime}\rangle d\tau, $$ donde $L(v,X)=\operatorname{div}^{2}v+\langle\operatorname{Ric},v\rangle -2\langle\operatorname{div}v,X\rangle+v(X,X)$ es la (versión estable de la) lineal de Harnack y donde $W=\operatorname{div}v-\frac{1}{2}% \nabla\operatorname{tr}v=\frac{\partial}{\partial s}\operatorname{tr} _{1,2}^{g}(\nabla_{g(s,\tau)}-\nabla_{g(0,\tau)})$ está relacionado con el truco de DeTurck.
Siguiendo a Perelman e introduciendo el dilatón $f$ tenemos que si $\frac{\partial f}{\partial s}=h$ entonces la variación de su integrando de energía es $$ \frac{\partial}{\partial s}(R+2\Delta f-\left\vert \nabla f\right\vert ^{2})=L(v,\nabla f)+2\left( \Delta-\nabla f\cdot\nabla\right) (h-\frac {\operatorname{tr}v}{2})-2\langle v,\operatorname{Ric}+\nabla^{2}f\rangle. $$ Cuando la variación preserva la medida, es decir, $\frac{\partial}{\partial s}(e^{-f}d\mu_{g})=0$ entonces el segundo término del lado derecho desaparece ya que entonces $h=\frac{\operatorname{tr}v}{2}$ . El tercer término desaparece en una estructura de solitón de Ricci.