¿Cuál es la pdf de la distribución de Laplace condicionada en un plano? ¿Cómo puedo muestrear a partir de ella?

Question

Nuestro objetivo es muestrear a partir de la distribución de Laplace condicionada en un subespacio lineal. He aquí los detalles de este problema.

Sea $$p(x) \propto \exp(-\|x\|_1/\sigma)$$ sea la pdf de la distribución de Laplace, donde $x = (x_1, \dots, x_d)\in \mathbb{R}^d$ . Consideremos la distribución condicional $p(x\,|\,\sum^d_{i = 1}x_i = 0)$ que es la distribución de Laplace $p(x)$ apoyada en el subespacio lineal $\sum^d_{i = 1}x_i = 0$ .

¿Cómo puede $p(x\,|\,\sum^d_{i = 1}x_i = 0)$ ¿Qué aspecto tiene? Además, ¿cómo tomamos muestras de $p(x\,|\,\sum^d_{i=1}x_i)$ ?

Answer 1

Sea $n:=d$ . Rescatando, sin pérdida de generalidad $\sigma=1$ . Sea $X_1,\dots,X_n$ sean variables aleatorias (v.a.) iid con la distribución estándar de Laplace, de modo que la fdp conjunta de $X:=(X_1,\dots,X_n)$ es \begin{equation} f_X(x)=\frac1{2^n}\,\exp\Big\{-\sum_1^n|x_i|\Big\} \end{equation} para $x=(x_1,\dots,x_n)$ . Sea $Y_1:=X_1+\dots+X_n$ , $Y_2:=X_2,\dots,Y_n:=X_n$ de modo que $X_1=Y_1-Y_2-\dots-Y_n$ , $X_2=Y_2,\dots,X_n=Y_n$ . Así que.., $X=(X_1,\dots,X_n)$ y $Y:=(Y_1,\dots,Y_n)$ están relacionadas por una transformación lineal invertible de determinante $1$ . Por lo tanto, utilizando la técnica de transformación para sistemas de v.r./cambio de variables en integrales múltiples, vemos que el pdf conjunto de $Y=(Y_1,\dots,Y_n)$ es \begin{multline} f_Y(y)=f_X(y_1-y_2-\dots-y_n, y_2,\dots,y_n) \\ =\frac1{2^n}\,\exp\Big\{-|y_1-y_2-\dots-y_n|-\sum_2^n|y_i|\Big\} \end{multline} para $y=(y_1,\dots,y_n)$ . Por lo tanto, la distribución conjunta de $X=(X_1,\dots,X_n)$ dado que $X_1+\dots+X_n=0$ viene determinada por la fdp conjunta condicional de $(Y_2,\dots,Y_n)$ dado $Y_1=0$ que viene dada por la expresión \begin{equation} f_{Y_2,\dots,Y_n|Y_1=0}(y_2,\dots,y_n)=\frac{f_Y(0,y_2,\dots,y_n)}{f_{Y_1}(0)}, \end{equation} donde $f_{Y_1}$ es el pdf de $Y_1$ .

Así pues, para completar el cálculo de $f_{Y_2,\dots,Y_n|Y_1=0}(y_2,\dots,y_n)$ queda por calcular $f_{Y_1}(0)$ . Esto puede hacerse rápidamente utilizando funciones características (f.c.). En efecto, la f.c. de $X_1$ viene dada por \begin{equation} \phi(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}\frac1{2}\,e^{-|x|}\,dx=\frac1{1+t^2} \end{equation} de verdad $t$ . Por lo tanto, la f.c. de $Y_1=X_1+\dots+X_n$ es $t\mapsto\frac1{(1+t^2)^n}$ y \begin{equation} f_{Y_1}(0)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-it0}\frac{dt}{(1+t^2)^n} =2^{-2 n-1} \binom{2 n}{n}. \end{equation}

Por lo tanto, la fdp conjunta condicional de $(Y_2,\dots,Y_n)$ dado $Y_1=0$ es \begin{equation} 2^{n+1}\exp\Big\{-|y_2+\dots+y_n|-\sum_2^n|y_i|\Big\}\Big/\binom{2 n}{n}. \end{equation}

Para simular esta distribución, se puede utilizar Cadena de Markov Monte Carlo métodos.