Simultáneamente diagonalizable si A,B conmutan

Question

Sí, esto es una repetición, sin embargo no he visto a nadie explicarlo completamente (o de tal manera que yo pueda comprenderlo, y créeme, he buscado respuestas a fondo).

Si los endomorfismos (lineales) $A,B: V \to V$ son diagonalizables, demuestre que son simultáneamente diagonalizables $\iff AB=BA$

La implicación inicial es trivial. He mostrado el caso para cuando todos los valores propios son distintos. Es cuando no son necesariamente distintos que parece que no puedo conseguir mi cabeza alrededor del problema. (Por ejemplo, los polinomios mínimos me resultan demasiado desconocidos para ser constructivos). Cualquier enlace, pruebas, pistas o explicaciones son profundamente, profundamente apreciada.

Gracias.

Answer 1

Sea $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ los valores propios de $A$ y $E_{\lambda_i}$ el eigespacio correspondiente. Para cualquier vector propio $u\in E$ tenemos $$A(B(u))=B(A(u))=B(\lambda u)=\lambda B(u).$$ Esto demuestra la $E_{\lambda_i}$ s son estables mediante $B$ .

Ahora bien, puesto que $A$ es diagonalizable, el espacio vectorial $V$ se descompone como $$V=\bigoplus_{i=1}^rE_{\lambda_i}$$ En una base de vectores propios para $A$ la matriz A se convierte en una matriz diagonal, y la matriz $B$ es una matriz diagonal de bloques $$\begin{pmatrix} B_1\!\\ &\!\ddots\!\\ &&\!B_r \end{pmatrix}$$ Así pues, basta con observar la restricción de (el endomorfismo asociado a) $B$ es diagonalizable. Tome en cada $E_{\lambda_i}$ una base de vectores propios de $B_i=B\Bigl\lvert_{E_{\lambda_i}}$ . La matriz de la restricción de $A$ a este eigenspace sigue siendo diagonal, ya que es $\lambda_i I_{E_{\lambda_i}}$ . Por último, elija como base para $V$ la unión de las bases del $E_{\lambda_i}$ . Se obtiene una base que diagonaliza simultáneamente $A$ y $B$ .

Answer 2

Como se ha dicho, la afirmación es falsa. $$A=B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} $$ conmutan claramente, pero no son diagonalizables.