1-Toro como dimensión finita $\mathbb{R}$ -es unidimensional, pero no isomorfo a $\mathbb{R}$

Question

Sé que el 1-toro, dada por su presentación como matrices de rotación:

$\mathbb{T}=\{R_{\theta}=\begin{pmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{pmatrix}: \theta \in \mathbb{R}\}$ forma un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con las siguientes sumas y multiplicaciones escalares.

$R_{\theta} \oplus R_{\alpha} = R_{\theta}R_{\alpha}=R_{\theta + \alpha}$ Esto funciona gracias a las fórmulas de suma de ángulos seno y coseno.

Y la multiplicación escalar dada por $r\odot R_{\theta} = R_{r\theta}$ .

Mi duda es la siguiente, estoy bastante seguro que dado un espacio vectorial de dimensión finita $V$ sobre un campo $\mathbb{K}$ podemos decir que:

$$(1)\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }V\cong \bigoplus_{j=1}^{dim(V)}\mathbb{K}$$

Donde el isomorfismo viene dado por la asignación del escalar que multiplica cada elemento de la base a su propia coordenada en la suma directa.

La cosa aquí, es que tenemos un epimorfismo dado por:

$$\psi:\mathbb{R}\to \mathbb{T}$$ $${\theta}\mapsto R_{\theta}$$

Este epimorfismo tiene claramente un núcleo no trivial, dada la periodicidad de las funciones seno y coseno, y el espacio definido como $\mathbb{T}$ es claramente unidimensional.

Además, ningún mapeo lineal entre estos espacios puede ser nunca un isomorfismo, dado que $\mathbb{T}$ es compacta, y toda función lineal es continua en $\mathbb{R}$ .

¿Cómo es que esto no es una contradicción, me estoy perdiendo algo y $\mathbb{T}$ no es realmente un espacio vectorial?

Lo que estoy seguro que tiene que ser cierto es, dado un espacio vectorial $V$ con una base ordenada $\mathcal{B}=\{b_{i}\}_{i=1}^{n}$ y la cartografía:

$$\phi: \bigoplus_{j=1}^{n}\mathbb{K} \to V$$ $$(\lambda_{i})_{i=1}^{n} \mapsto \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}b_{i}$$

es un epimorfismo, por lo que debido al primer teorema de isomorfismo para módulos, podemos concluir:

$$V\cong \bigoplus_{j=1}^{n} (\mathbb{K}/Ker(\phi_{i}))$$

Dónde $\phi_{i}:\mathbb{K}\to V$ dado por $\phi_{i}(\lambda)=\lambda b_{i}$ .

¿Es esto en lo que debería pensar cuando hablo de espacios vectoriales de dimensión finita, o es que (1) es cierto, y me estoy perdiendo algo fundamental sobre la estructura de $\mathbb{T}$ por lo que NO es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ ?

Answer 1

De hecho, el $1$ -no es un espacio vectorial sobre $\Bbb R$ . Siguiendo la lista de axiomas dado aquí el toro falla en la "compatibilidad de la multiplicación escalar con la multiplicación de campos". Obsérvese, por ejemplo, que $$ \frac 14 \odot (4 \odot R_{\pi/2}) = R_0 \neq (\frac 14 \cdot 4) \odot R_{\pi/2}. $$

Answer 2

El mapa putativo de multiplicación escalar, $$r \odot R_{\theta} \mapsto R_{r \theta} ,$$ ni siquiera está bien definido.

La periodicidad de $\sin, \cos$ implique que $$R_{\theta + 2\pi} = R_\theta .$$ Pero tomando (por conveniencia notacional) $\theta = 2 \beta$ y aplicando simbólicamente la regla para el mapa de multiplicación escalar (es decir, despreocupándose temporalmente de la bien definida) se obtiene que $$\frac{1}{2} \odot R_{2 \beta + 2\pi} = R_{\beta + \pi} = R_\beta R_\pi = - R_\beta,$$ que no coincide con $$\frac{1}{2} \cdot R_{2 \beta} = R_{\beta} .$$

Dicho de un modo un poco más abstracto (y formal): El mapa $\pi : \theta \mapsto R_{\theta}$ es un mapa cociente e identifica $\Bbb T$ con el espacio $\Bbb R / \sim$ donde $x \sim y$ si $\pi(x) \leftrightarrow \pi(y)$ .

• La operación de suma $+$ del espacio vectorial real $\Bbb R$ desciende por $\pi$ a una operación en $\Bbb T$ a saber, $\oplus$ . De ello se deduce que $\oplus$ satisface los axiomas habituales de la suma de espacios vectoriales, y en particular $(\Bbb T, \oplus)$ es un grupo (isomorfo a $SO(2)$ ). (De hecho, $\pi$ es un homomorfismo de grupo $(\Bbb R, +) \to (\Bbb T, \oplus)$ .)
• Por otro lado, la operación de multiplicación escalar $\cdot : \Bbb R \times \Bbb R \to \Bbb R$ hace no descender a un mapa $\Bbb R \times \Bbb T \to \Bbb T$ : Como muestra el cálculo anterior, $\pi(r \cdot \alpha)$ no es independiente de la elección del representante $\alpha$ de $R_\theta$ en $\pi^{-1}(R_\theta) = \{\theta + 2 \pi k : k \in \Bbb Z\}$ . Pero este descenso fue como el mapa $\odot$ fue caracterizado, por lo que no está bien definido.