Términos de error del modelo de media móvil

Question

Se trata de una pregunta básica sobre los modelos MA de Box-Jenkins. Según tengo entendido, un modelo MA es básicamente una regresión lineal de valores de series temporales $Y$ frente a los términos de error anteriores $e_t,..., e_{t-n}$ . Es decir, la observación $Y$ se compara primero con sus valores anteriores $Y_{t-1}, ..., Y_{t-n}$ y luego uno o más $Y - \hat{Y}$ se utilizan como términos de error para el modelo MA.

Pero, ¿cómo se calculan los términos de error en un modelo ARIMA(0, 0, 2)? Si se utiliza el modelo MA sin parte autorregresiva y, por tanto, sin valor estimado, ¿cómo es posible que tenga un término de error?

Answer 1

Estimación de modelos MA:

Supongamos una serie con 100 puntos temporales, y digamos que se caracteriza por el modelo MA(1) sin intercepto. Entonces el modelo viene dado por

$$y_t=\varepsilon_t-\theta\varepsilon_{t-1},\quad t=1,2,\cdots,100\quad (1)$$

Aquí no se observa el término de error. Así que para obtener esto, Box et al. Análisis de series temporales: Predicción y control (3ª edición) , página 228 sugieren que el término de error se calcula recursivamente por,

$$\varepsilon_t=y_t+\theta\varepsilon_{t-1}$$

Por tanto, el término de error para $t=1$ es, $$\varepsilon_{1}=y_{1}+\theta\varepsilon_{0}$$ Ahora bien, no podemos calcular esto sin conocer el valor de $\theta$ . Así que para obtener esto, necesitamos calcular la estimación Inicial o Preliminar del modelo, refiérase a Box et al. de dicho libro, Apartado 6.3.2 página 202 declaran que,

Se ha demostrado que la primera $q$ autocorrelaciones de MA( $q$ ) proceso son distintos de cero y pueden escribirse en términos de los parámetros del modelo como $$\rho_k=\displaystyle\frac{-\theta_{k}+\theta_1\theta_{k+1}+\theta_2\theta_{k+2}+\cdots+\theta_{q-k}\theta_q}{1+\theta_1^2+\theta_2^2+\cdots+\theta_q^2}\quad k=1,2,\cdots, q$$ La expresión anterior para $\rho_1,\rho_2\cdots,\rho_q$ en términos $\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_q$ , suministros $q$ ecuaciones en $q$ incógnitas. Las estimaciones preliminares de la $\theta$ s pueden sustituyendo las estimaciones $r_k$ para $\rho_k$ arriba ecuación

Tenga en cuenta que $r_k$ es la autocorrelación estimada. En Sección 6.3 - Estimaciones iniciales de los parámetros Por favor, lea esto. Ahora, suponiendo que obtenemos la estimación inicial $\theta=0.5$ . Entonces, $$\varepsilon_{1}=y_{1}+0.5\varepsilon_{0}$$ Ahora, otro problema es que no tenemos valor para $\varepsilon_0$ porque $t$ empieza en 1, por lo que no podemos calcular $\varepsilon_1$ . Por suerte, existen dos métodos para conseguirlo,

1. Probabilidad condicional
2. Probabilidad incondicional

Según Box et al. Apartado 7.1.3 página 227 los valores de $\varepsilon_0$ puede sustituirse por cero como aproximación si $n$ es moderado o grande, este método es Probabilidad Condicional. En caso contrario, se utiliza la Probabilidad Incondicional, en la que el valor de $\varepsilon_0$ se obtiene mediante back-forecasting, Box et al. recomiendan este método. Más información sobre la previsión retrospectiva en Apartado 7.1.4 página 231 .

Tras obtener las estimaciones iniciales y el valor de $\varepsilon_0$ finalmente podemos proceder al cálculo recursivo del término de error. A continuación, la etapa final consiste en estimar el parámetro del modelo $(1)$ Recuerde que ya no se trata de una estimación preliminar.

Al estimar el parámetro $\theta$ Utilizo el procedimiento de estimación no lineal, en particular el algoritmo de Levenberg-Marquardt, ya que los modelos MA son no lineales en sus parámetros.

En general, le recomiendo encarecidamente que lea Box et al. Análisis de series temporales: Predicción y control (3ª edición) .

Answer 2

Un modelo MA(q) gaussiano se define (¡no sólo por Box y Jenkins!) como $$ Y_t = -\sum_{i=1}^q \vartheta_i e_{t-i} + \sigma e_t,\quad e_t\stackrel{\text{iid}}{\sim} \mathcal{N}(0,1) $$ por lo que el modelo MA(q) es un modelo de error "puro", el grado $q$ definir hasta dónde se remonta la correlación.

Answer 3

Ver mi post aquí para una explicación de cómo entender los términos de perturbación en una serie MA.

Para estimarlos se necesitan diferentes técnicas de estimación. Esto se debe a que no se pueden obtener primero los residuos de una regresión lineal y luego incluir los valores residuales retardados como variables explicativas porque el proceso de MA utiliza los residuos de la regresión actual. En su ejemplo, está creando dos ecuaciones de regresión y utilizando los residuos de una en la otra. Esto no es un proceso MA. No se puede estimar con MCO.

Answer 4

Usted dice "la observación $Y$ se compara primero con sus valores anteriores $Y_{t−1},...,Y_{t−n}$ y luego uno o más $Y−\hat{Y}$ se utilizan como términos de error para el modelo MA". Lo que yo digo es que $Y$ con dos series predictoras $e_{t-1}$ y $e_{t−2}$ dando lugar a un proceso de error $e_t$ que no estarán correlacionados para todos los i=3,4,,,,t .Tenemos entonces dos coeficientes de regresión: $\theta_1$ que representa el impacto de $e_{t-1}$ y $\theta_2$ que representa el impacto de $e_{t-2}$ . Así $e_t$ es una serie aleatoria de ruido blanco que contiene n-2 valores. Puesto que tenemos n-2 relaciones estimables, partimos del supuesto de que e1 y e2 son iguales a 0,0 . Ahora, para cualquier par de $\theta_1$ y $\theta_2$ podemos estimar los valores residuales t-2. La combinación que arroje la menor suma de cuadrados de error sería entonces la mejor estimación de $\theta_1$ y $\theta_2$ .