Extraña propiedad de parametrización de una clase de curvas planas

Question

Mis estudios me llevan a la siguiente parametrización de quizás una nueva clase de curvas planas ( que son similares en forma a las espirales sinusoidales clásicas pero no idénticas ). Si las curvas no son aún conocidas me atrevo humildemente a llamarlas $T$ -curvas.

$$\begin{align} &x(t)= \cos t + \cos \left(\frac{n+1}{n-1} t \right), \\ &y(t)=-\sin t + \sin \left(\frac{n+1}{n-1} t \right). \end{align}$$

Como ves, hay una conexión con los polinomios de Chebyshev de primer y segundo tipo.

Si se trazan para impar valores de $n>1$ el gráfico muestra espirales con $n$ hojas como se esperaba. Pero si se traza para valores pares $n \geq 2$ el gráfico muestra extrañamente $2n$ hojas. ( el dominio de parámetros es $0$ a $2 (n-1) \pi$ )

Por ejemplo $n=2$ Me hubiera gustado ver la lemniscata de Bernoulli.

Q1 : ¿existe una parametrización que idealmente resultaría correctamente en $n$ para todos los valores de $n$ (quizás sólo $n \geq 3$ )?
P2 : ¿Cómo abordar el problema de si estas $T$ -¿las curvas son algebraicas (como las espirales sinusoidales clásicas)?

Answer 1

Q2 puede responderse al menos positivamente para n=3.
( esta es entonces la análoga de la llamada curva de Kiepert que es
la espiral sinusoidal clásica para n=3 )

He encontrado por ensayo y error en el uso intensivo de un sistema CAS
la ecuación implícita

(x^2+y^2)^2=2x(x^2-3y^2)

Answer 2

Edición para corregir una versión anterior defectuosa. Estas curvas están relacionadas con casos especiales de epicicloides para el caso especial $R=1$