Mis estudios me llevan a la siguiente parametrización de quizás una nueva clase de curvas planas ( que son similares en forma a las espirales sinusoidales clásicas pero no idénticas ). Si las curvas no son aún conocidas me atrevo humildemente a llamarlas $T$ -curvas.
\begin{align} &x(t)= \cos t + \cos \left(\frac{n+1}{n-1} t \right), \\ &y(t)=-\sin t + \sin \left(\frac{n+1}{n-1} t \right). \end{align}
Como ves, hay una conexión con los polinomios de Chebyshev de primer y segundo tipo.
Si se trazan para impar valores de $n>1$ el gráfico muestra espirales con $n$ hojas como se esperaba. Pero si se traza para valores pares $n \geq 2$ el gráfico muestra extrañamente $2n$ hojas. ( el dominio de parámetros es $0$ a $2 (n-1) \pi$ )
Por ejemplo $n=2$ Me hubiera gustado ver la lemniscata de Bernoulli.
Q1 : ¿existe una parametrización que idealmente resultaría correctamente en $n$ para todos los valores de $n$ (quizás sólo $n \geq 3$ )?
P2 : ¿Cómo abordar el problema de si estas $T$ -¿las curvas son algebraicas (como las espirales sinusoidales clásicas)?
