Descomposición en valor singular del producto de matrices

Question

Dadas SVD(A) y SVD(B) y siendo B una matriz diagonal, ¿existe alguna forma o método para construir SVD(AB)?

Answer 1

En realidad hay una respuesta, pero algo compleja. Denotemos la descomposición SVD de $A$ por $U^*S^*V'$ denota $\operatorname{qr}(BU) = QR$ y denota la descomposición SVD de $RS$ por $U_1^*S_1^*V_1'$ entonces la descomposición SVD de $BA$ es $(QU_1)S_1(VV_1)'$ .

Prueba: $BA= BUSV'=QRSV'=(QU_1)S_1(V_1'V') = (QU_1)S_1(VV_1)'$ . $QU_1$ es unitario y $VV_1$ es unitario y $S_1$ es diagonal.

Interpretación: los valores singulares de $BA$ son los valores singulares de $RS$ . Así, los valores singulares originales se multiplican por el triangular superior $R$ de la descomposición qr de $BU$ es decir, $B$ tras transformación unitaria por bases derechas $U$ de $A$ .

Answer 2

En realidad, no existe una relación sencilla entre la SVD de un producto y la SVD de los factores individuales.

Sin embargo, existen métodos para formar la SVD de un producto de dos o más matrices, sin formar el producto matricial propiamente dicho (lo que puede ser una fuente de inexactitud); véase por ejemplo este artículo de Golub, Solna y van Dooren .

Answer 3

No será una respuesta completa, pero quizá sea un paso en la dirección correcta.

Consideremos el problema equivalente del SVD de $BA$ donde $B$ es diagonal. Esto es sin pérdida de generalidad porque si conocemos el SVD de $BA$ entonces conocemos la SVD de $(AB)^T=A^TB^T$ que es de la forma que usted menciona. Supondremos que $B$ tiene elementos diagonales distintos de cero, de modo que tiene rango completo.

Sea la SVD de A $USV^*$ donde $U$ y $V$ son unitarios, $S$ diagonal no negativa, y $V^*$ es la transposición conjugada de $V$ . Además $B=QR$ sea la descomposición QR única de $B$ obtenida por el método de Gram-Schmidt tal que los elementos diagonales de R son positivos, donde $Q$ es unitario y $R$ es triangular superior. La positividad de los elementos diagonales de $R$ será útil en lo que sigue.

Desde $R$ es triangular superior, y $S$ es diagonal, $RS$ también será diagonal. A saber, $RS$ será una matriz diagonal formada por los productos de los elementos diagonales de $R$ con los elementos correspondientes de $S$ . Desde $R$ y $S$ tienen elementos diagonales positivos, así como su producto, que llamaremos $D$ . Por lo tanto, una SVD de $BA$ viene dado por:

$$BA=QDV^*$$