Problemas con la prueba de la plaza de las desviaciones

Question

Pido disculpas por adelantado por cualquier error ortográfico, ¡no estoy acostumbrado a escribir matemáticas en inglés! Ya he intentado buscar esta pregunta aquí, pero no estaba seguro de haber utilizado las mejores etiquetas al hacerlo. En fin, a la pregunta:

Se tomó de un libro de texto brasileño sobre Estadística Básica (Bussab & Morettin, 2013). Básicamente me pide que demuestre que:

$${\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - \overline x } \right)} ^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2 - n{{\overline x }^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2 - {{{{\left( {\Sigma {x_i}} \right)}^2}} \over n}} } $$

Ahora, realmente no sabía por dónde empezar o si hay un enfoque oficial recomendado para tales pruebas, pero sólo traté de empezar abriendo el primer término:

$$\eqalign{ & {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - \overline x } \right)} ^2} = {\left( {{x_1} - \overline x } \right)^2} + {\left( {{x_2} - \overline x } \right)^2} + ... + {\left( {{x_n} - \overline x } \right)^2} \cr & {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - \overline x } \right)} ^2} = \left( {{x_1}^2 - 2{x_1}\overline x + {{\overline x }^2}} \right) + \left( {{x_2}^2 - 2{x_2}\overline x + {{\overline x }^2}} \right) + ...\left( {{x_n}^2 - 2{x_n}\overline x + {{\overline x }^2}} \right) \cr} $$

En ese momento sentí que estaba lo suficientemente cerca como para empezar a reagrupar las piezas:

$$\eqalign{ & {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - \overline x } \right)} ^2} = \left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + ...{x_n}^2} \right) + \left( {{{\overline x }^2} + {{\overline x }^2} + ... + {{\overline x }^2}} \right) - 2\overline x \left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right) \cr & {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - \overline x } \right)} ^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} + n{\overline x ^2} - 2\overline x \left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right) \cr} $$

Y ahí es donde me quedé. Puedo conseguir el $ + n{\overline x ^2}$ ser $ - n{\overline x ^2}$ y no sé cómo "librarme" del tercer mandato.

Answer 1

Ya casi has terminado. Sólo tienes que escribir $$ \begin{align} {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - \overline x } \right)} ^2} &= \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} + n{\overline x ^2} - 2\overline x \left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right)\\&=\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} + n{\overline x ^2} - 2\overline x \overline xn\\&=\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} + n{\overline x ^2} - 2n\overline x^2\\&=\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} - n{\overline x ^2}. \end{align}$$

Answer 2

$${\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - \overline x } \right)} ^2} = $$

$$ \sum\limits_{i = 1}^n ({x_i}^2 - 2x_i\bar x+ \bar x^2)=$$

$$\sum\limits_{i = 1}^n ({x_i}^2) -2\bar x\sum\limits_{i = 1}^n x_i+n\bar x^2 = $$

$$\sum\limits_{i = 1}^n ({x_i}^2)-2\bar x(n\bar x)+n\bar x^2=$$

$$\sum\limits_{i = 1}^n ({x_i}^2)-2n\bar x^2+n\bar x^2=$$

$$\sum\limits_{i = 1}^n ({x_i}^2)-n\bar x^2$$

Answer 3

Cuando ambos lados se dividen por $n-1,$ el lado derecho se denomina "fórmula computacional" de la varianza muestral (en contraposición a la "definición" de la izquierda) porque tiene varias funciones computacionales computacionales.

Sólo para que haya una derivación que sea fácil de seguir para siguiente visitante, permítanme dar una ecuación continua con las relaciones clave. (Para simplificar, todas las sumas se toman sobre $i = 1, 2, \dots, n.)$

$$\begin{align} {\sum (X_i - \bar X)^2} &= {\sum(X_i^2 - 2\bar X X_i + \bar X^2)} \\&= {\sum X_i^2 - 2\bar X\sum X_i + n\bar X^2} \\&= \sum X_i^2 - 2\bar X(n\bar X) + n\bar X^2 \\&= \sum X_i^2 - n\bar X^2 = \sum X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{n}. \end{align}$$

Notas sobre varias ventajas de la forma "computacional":

(1) El lado derecho tiene una resta y el lado izquierdo tiene $n$ sustracciones.

(2) Suponga que tiene una calculadora en la que las observaciones $X_i$ se introducen secuencialmente, cada entrada seguida de la pulsación de una tecla (quizás "Datos" o " $\Sigma^+$ "). Después de cada pulsación: La memoria A se incrementa en $1,$ mantener el número de observaciones; la memoria B se incrementa en $X_i,$ mantener un total continuo; la memoria C se incrementa en $X_i^2.$ Entonces, cuando la entrada de datos la fórmula para el numerador de la varianza muestral es $C - B^2/A.$ Utilizando la definición, la calculadora tendría que llevar la cuenta de de todos $n$ observaciones para obtener $\bar X$ y luego utilizar cada observación de nuevo para obtener $\sum (X_i - \bar X)^2.$

(3) Supongamos que tenemos la Muestra 1 con tamaño de muestra $n_1,$ media muestral $\bar X_1,$ y la varianza muestral $S_1^2$ conocido. Del mismo modo, para la Muestra 2 se sabe $n_2, \bar X_2,$ y $S_2^2.$ Varios usos de la fórmula computacional permiten encontrar el tamaño de la muestra, la media y la varianza de la muestra combinada, incluso si los datos originales no estén disponibles. [De $S_1^2, \bar X_1, n_1$ puedes encontrar $\sum_{[1]} X_i$ y $\sum_{[1]} X_i^2$ para la primera muestra. Del mismo modo, para la segunda muestra. A continuación, puedes hallar las sumas correspondientes para la muestra combinada y, por último, la media y la varianza de la muestra combinada].