Suma de una serie cuando $n$ llega hasta el infinito

Question

¿Cómo podemos determinar la suma

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right)$$

Intenté reducirlo a un problema integral dividiendo el numerador y el denominador por $n^2$ pero obtenemos el término $\dfrac{\frac{1}{n}}{1+\frac{r}{n^2}}$ donde $r$ oscila entre $1$ a $n$ pero para obtener la variable $x$ en integración necesitaríamos $\frac{r^2}{n^2}=x^2$ . Por lo tanto, no estoy seguro de cómo hacerlo. Estaré muy agradecido por las soluciones.

Answer 1

Tenemos $$\frac{n^2}{n^2+n} \leq\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right) \leq \frac{n^2}{n^2+1},$$ así que por el teorema del apretón $$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right)=1.$$