Sustitución para integrales definidas

Question

En mi experiencia, Cálculo II los estudiantes disgusta el cambio de los límites de las integrales definidas que implican la sustitución. Cuando se enfrenta a una integral como $$\int_0^{\sqrt{\pi }} x \sin \left(x^2\right)dx,$$ por ejemplo, la mayoría de Estados Unidos Calc II los estudiantes introduciría $u=x^2$ y calcular \begin{align} \int x \sin \left(x^2\right)dx &= \frac{1}{2}\int \sin(u) \, du \\ &= -\frac{1}{2} \cos(u)+c = -\frac{1}{2} \cos(x^2)+c. \end{align} Después de esto, se concluye que el $$\int_0^{\sqrt{\pi }} x \sin \left(x^2\right) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(x^2) \big|_0^{\sqrt{\pi}} = 1.$$ Yo generalmente animarlos a escribir \begin{align} \int_0^{\sqrt{\pi }} x \sin \left(x^2\right)dx &= \frac{1}{2}\int_0^{\pi} \sin(u) \, du \\ &= -\frac{1}{2} \cos(u) \big|_0^{\pi} = 1. \end{align} Esta pregunta se expresa la opinión de un típico estudiante y esta respuesta correctamente expresa el hecho de que el proceso de dos pasos favorecido a mi la mayoría de los cálculos de los estudiantes es en realidad más trabajo.

Creo que hay más que esto, sin embargo. Específicamente, la identidad $$\int_a^b f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du$$ es una relación entre las integrales definidas que podrían tener otras aplicaciones de la evaluación simbólica de la integral de la izquierda. En este caso, el cambio de los límites de la integración es importante en su propio derecho. Por lo tanto mi pregunta:

¿Cuáles son algunas de las aplicaciones más importantes de cambio de variables en definitiva integración, aparte de la evaluación simbólica?

Tengo al menos una respuesta, sino que sería feliz de saber más, especialmente aquellos que son fácilmente comprensibles por la Calc II los estudiantes, como creo que es una importante pregunta pedagógica.

Answer 1

¿Cuáles son algunas de las aplicaciones más importantes de cambio de variables en definitiva integración, aparte de la evaluación simbólica?

Aquí hay un puñado:

1. Para dar un computacional (en oposición a la geométrica) la prueba de que $$ \int_{-a}^{a} f(x)\, dx = \begin{cases} 0 & \text{if %#%#% is odd}; \\ 2\displaystyle\int_{0}^{a} f(x)\, dx & \text{if %#%#% is even.} \end{casos} $$

2. Para demostrar que si $f$ $f$ son números reales positivos, entonces $$ \int_{a}^{ab} \frac{1}{t}\, dt = \int_{1}^{b} \frac{1}{t}\, dt, $$ lo cual, por supuesto, es la clave para demostrar la $a$.

3. Para probar que si $b$ es continua en a $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$, luego $$ \int_{0}^{2\pi} f(\cos \theta) \sin\theta\, d\theta = \int_{0}^{2\pi} f(\sin \theta) \cos\theta\, d\theta = 0. $$

Answer 2

He aquí otro ejemplo común: $$ \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a+b-x)\,dx.$$

La interpretación geométrica es simplemente que el área de una región es preservada por la reflexión sobre su abdomen.

Answer 3

Voy a dar mi opinión como estudiante que recientemente ha "terminado" Cálculo, es decir, de Calc. I Análisis Real.

En primer lugar, me gustaría señalar que la "evaluación simbólica" es probablemente la parte más importante de ella. La identidad que has escrito, para mí, fue la única forma en que podía aceptar el contrario críptico declaración, se nos presentan como una "regla" para las integrales indefinidas: $$\mathrm du = u'(x)\mathrm dx$$ Yo qué iba a razón de esto? ¿Qué es este misterioso $\mathrm d$? Una función de funciones, cuyo resultado termina por tener otro $\mathrm d$? Un infinitesimal? ¿Qué es eso?

"La intuición" nunca fue un trato-sellador para mí, y bajo ninguna circunstancia estaba dispuesto a aceptar "multiplicando por $\mathrm dx$" en la identidad de $\mathrm du/\mathrm dx = u'(x)$. Necesitaba saber por qué. Este era el lugar donde la identidad de las integrales definidas vino. Por supuesto, el conocimiento de una prueba formal, se puede argumentar, no constituye necesariamente una comprensión; el "por qué". Sin embargo, lo que hace es una especie de sujetador, una seguridad de la que uno se puede comenzar con las matemáticas que ellos (por cualquier razón) conocer y aceptar en ese momento, y llegar, si lo desean, en la conclusión. Así, una vez que sabía y entendía la prueba acerca de las zonas en virtud de las funciones, la prueba de que $$\int_a^b f(g(x)) g'(x) \,\mathrm dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \,\mathrm du$$

Yo era capaz de mantener en la consideración de la misteriosa $\mathrm d$ como notación simple para indicar que es la variable independiente, y como indefinida integrales, podría justificar la "declaración secreta" que he mencionado, considerando la definitiva integral con una variable límite.

En resumen, la regla para el cambio de variables en integrales definidas, y la prueba de dicha regla con el razonamiento de que estaba dentro de mi alcance en el tiempo, se desempeñó como psicológica de puesta a tierra cuando se trata de con $\mathrm dx$ y los gustos. Tenga en cuenta que esto podría extenderse a un conjunto limitado de) otros contextos, en particular, la "separación de variables" uno se da cuenta de ciertas ecuaciones diferenciales. Sin que esto me iba a creer, de nuevo, de que en realidad estaba multiplicando por $\mathrm dx$!

Me doy cuenta de que usted pide para aplicaciones de otros de la evaluación simbólica, y aunque he mencionado la separación de variables en las ecuaciones diferenciales ordinarias, que creo que es un buen ejemplo, voy a tratar de pensar un poco más y editar este post más adelante.

Answer 4

En la sustitución de la integración numérica es la base para la comprensión de cómo un general de la distribución normal está relacionada con la distribución normal estándar. Este es un muy importante de la aplicación.

La fórmula para el público en general, la distribución normal con una media de $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$ es $$f_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}.$$ La distribución normal estándar se obtiene mediante el establecimiento $\mu=0$$\sigma=1$. Por lo tanto, $$f(x) = f_{0,1}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}.$$ Cada uno de estos es un ejemplo de una distribución de probabilidad, es decir, un no-negativos, en función integrable $f:{\mathbb R}\rightarrow\mathbb R$ cuyos general integral es $1$. Si $X$ es una variable aleatoria con distribución de probabilidad $f$, entonces podemos calcular la probabilidad de que $X$ se encuentra en un intervalo $[a,b]$ a través de $$P(a\leq X\leq b) = \int_a^b f(x)\,dx.$$ Ahora, la distribución normal es muy ubicua que ocurre en la realidad con sorprendente frecuencia. Este es el contenido esencial de el teorema del límite central. Por lo tanto, la informática, las integrales de la forma $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_a^b e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}dx$$ es muy importante problema. Por desgracia, no es sencilla la forma cerrada de la expresión de la anti-derivada. El estándar de manera de evitar este problema, tal como se enseña en la escuela primaria estadísticas, es traducir el cálculo de la normal estándar. Como sólo hay una normal estándar, podemos buscar los valores de $P(0\leq X\leq b)$ en un pre-calculado de la tabla. La traducción de los estados, si $X_{\mu,\sigma}$ se distribuye normalmente con una media de $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$, luego $$P(a\leq X_{\mu,\sigma}\leq b) = P\left(\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right) \leq X_{0,1} \leq P\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)\right).$$ El misterio es, ¿dónde los números de $(a-\mu)/\sigma$$(b-\mu)/\sigma$? Y la respuesta es, desde la modificación de los límites de una integral definida que implican la sustitución! De hecho, dejando $u=(x-\mu)/\sigma$, de modo que $\frac{1}{\sigma}dx=du$, obtenemos \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_a^b e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}dx &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_a^b e^{-\frac{1}{2}\left((x-\mu)/\sigma\right)^2} \frac{1}{\sigma}dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{(a-\mu)/\sigma}^{(b-\mu)/\sigma} e^{-\frac{1}{2}u^2} du. \end{align} Tenga en cuenta que intuitiva reglas básicas de la estadística, como el 70% de la población está dentro de una desviación estándar de la media o 95% dentro de dos desviaciones estándar, se sigue de esto. El 95%, por ejemplo, proviene del resultado de la siguiente computación numérica: $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-2}^2 e^{-x^2/2} dx = 0.9545.$$ Hablando de integración numérica, que constituye la base para la otra respuesta...