Son $(K_v)^{ab}$ y $(K^{ab})_v$ ¿lo mismo?

Question

Vi el siguiente diagrama conmutativo en el libro Number Theory 2: Introduction to Class Field Theory de Kato, Saito, Kurogawa.

Y los autores dicen que el mapa vertical de la derecha es la restricción de los automorfismos de $(K_v)^{ab}$ a su subcampo $K^{ab}$ .

Mi pregunta es

• Cómo ver $K^{ab}$ como subcampo de $(K_v)^{ab}$ ?
• Tal vez podría hacerse mostrando que $(K_v)^{ab}=(K^{ab})_v$ ? (by $(K^{ab})_v$ Me refiero a la finalización de $K^{ab}$ con respecto a la extensión única de $v$ ). Pero ni siquiera sé si es verdad o no.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

La construcción es la siguiente: en primer lugar, elija una incrustación $i$ del cierre algebraico $\overline{K}$ de $K$ en el cierre algebraico $\overline{K_v}$ de $K_v$ .

Entonces, para cualquier extensión abeliana finita $L/K$ (con $L \subset \overline{K}$ ), la extensión $LK_v/K_v$ es abeliano finito, por lo que $i(L) \subset (K_v)^{ab}$ . Ahora, tenga en cuenta que $K^{ab}$ es la reunión (filtrada) del $i(L)$ donde $K \subset L \subset \overline{K}$ es una extensión abeliana finita de $K$ - para que $i(K^{ab}) \subset (K_v)^{ab}$ .