¿Cómo probamos esta fracción continua para el cociente de funciones gamma

Question

Dado números complejos $a=x+iy$ , $b=m+in$ y un función gamma $\Gamma(z)$ con $x\gt0$ y $m\gt0$ se conjetura que fracción continua tiene

$$\frac{\displaystyle4\Gamma\left(\frac{2a+3}{4}\right)\Gamma\left(\frac{2b+3}{4}\right)}{\displaystyle\Gamma\left(\frac{2a+1}{4}\right)\Gamma\left(\frac{2b+1}{4}\right)}=\cfrac{(2a+1)(2b+1)}{a+b+2+\cfrac{(a-b+1)(b-a+1)} {a+b+4+\cfrac{(2a+3)(2b+3)}{a+b+6+\cfrac{(a-b+3)(b-a+3)}{a+b+8+\ddots}}}}\tag{1a}$$

Corolario

$$\frac{4}{\pi}=\cfrac{(2)^2}{3+\cfrac{(1)^2}{5+\cfrac{(4)^2}{7+\cfrac{(3)^2}{9+\ddots}}}}\tag{1b}$$

Q : ¿Cómo demostramos la fracción continua $(1a)$ ¿con rigor?

Answer 1

Esto se deduce de Fracción continua de Gauss $$\frac{_2F_1(a+1,b;c+1;z)}{_2F_1(a,b;c;z)}=\cfrac{c}{c+\cfrac{(a-c)bz}{c+1+\cfrac{(b-c-1)(a+1)z}{c+2+\cfrac{(a-c-1)(b+1)z}{c+3+\cfrac{(b-c-2)(a+2)z}{c+4+\ddots}}}}}$$ que evalúa la fracción continua en $(1a)$ como $$\frac{(2a+1)(2b+1)}{a+b+2}\frac{_2 F_1\left(b+\frac32,\frac{b-a+1}{2};\frac{a+b}{2}+2;-1\right)}{_2 F_1\left(b+\frac12,\frac{b-a+1}{2};\frac{a+b}{2}+1;-1\right)},$$ y Fórmula de Kummer $_2 F_1(a,b;a-b+1;-1)=\dfrac{\Gamma(a/2+1)\Gamma(a-b+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(a/2-b+1)}$ .

Después de todas las sustituciones y cancelaciones necesarias, se obtiene exactamente el resultado esperado. Las pruebas están esbozadas en los artículos enlazados, pero puede que desee seguir otras referencias para un tratamiento más profundo.

Answer 2

Para $$a=\frac{1}{2};\;b=\frac{1}{2}$$ El LHS se convierte en $\pi$

$$\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4} \left(\frac{2}{2}+1\right)\right) \Gamma \left(\frac{1}{4} \left(\frac{2}{2}+1\right)\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{4} \left(\frac{2}{2}+3\right)\right) \Gamma \left(\frac{1}{4} \left(\frac{2}{2}+3\right)\right)}=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma (1) \Gamma (1)}=\pi$$

El primer numerador del lado derecho pasa a ser 4 y $a+b=1$

$$\pi=\cfrac{4}{1+2+\cfrac{1^2}{1+4+\cfrac{4^2}{1+6+\cfrac{3^2}{1+8+\ddots}}}}$$

y por lo tanto el resultado