es $\alpha^2$ definida positiva, ya que $\alpha$ es positiva definida

Question

Sea $V$ sea un espacio producto interior y sea $\alpha \in End(V )$ sea positiva definida. Es $^2$ ¿es necesariamente positiva definida?

Puedo decir que $\alpha^3$ es positiva definida, ya que $\alpha$ es positiva definida, pero no tengo ni idea de cómo mostrar $\alpha^2$ es positivo definido o si no lo es, ¡nada me vino a la mente como contraejemplo! Agradezco cualquier ayuda.

Como, $\alpha$ es definida positiva, por lo que es autoadjunta y para cualquier vector distinto de cero $v\in V$ tenemos $\langle \alpha(v),v\rangle>0$ .

Desde $\alpha^3$ es autoadjunto y para cualquier $0\neq v\in V$ tenemos $$\langle\alpha^3(v),v\rangle=\langle\alpha^2(v),\alpha(v)\rangle=\langle\alpha(\alpha(v)),\alpha(v)\rangle>0$$

Answer 1

$( \alpha^2(v), v) = (\alpha(v) , \alpha(v)) = ||\alpha(v)||^2 > 0$ como $\alpha$ no tiene núcleo, por lo que $\alpha(v) \not = 0$ . Utilizamos que $\alpha$ es autoadjunto en el cálculo.

Además, $\alpha^2$ sigue siendo simétrica, ya que $(\alpha \alpha)^T = \alpha^T \alpha^T = \alpha \alpha$ .

Así que parece que la respuesta es sí. De hecho, creo que $\alpha^n$ es positiva definida para cualquier $n \in \mathbb{Z}$ . El par e impar $n$ son dos casos diferentes, utilizando el método que sugieres o el que yo utilizo en el primer párrafo.

También se pueden observar los valores propios, ya que los valores propios de $\alpha^2$ no son más que los cuadrados de los valores propios de $\alpha$ y también es diagonalizable.