Var(XY), si X e Y son variables aleatorias independientes

Question

Si X e Y son variables aleatorias independientes, ¿cuál es la varianza de XY?

Answer 1

Puedes seguir los comentarios de Henry para llegar a la respuesta. Sin embargo, otra forma de llegar a la respuesta es utilizar el hecho de que si $X$ et $Y$ son independientes, entonces $Y | X = Y$ et $X |Y = X$ .

Por expectativas iteradas y expresiones de varianza

\begin{align*} \text{Var}(XY) & = \text{Var}[\,\text{E}(XY|X)\,] + \text{E}[\,\text{Var}(XY|X) \,]\\ & = \text{Var}[\,X\, \text{E}(Y|X)\,] + E[\,X^2\, \text{Var}(Y|X)\,]\\ & = \text{Var}[\,X\, \text{E}(Y)\,] + E[\,X^2\, \text{Var}(Y)\,]\\ & = E(Y)^2\, \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) E(X^2)\,. \end{align*}