¿Qué se necesita para resolver la métrica en la RG?

Question

Las ecuaciones de campo de Einstein son:

$R_{ab} - {1 \over 2}g_{ab}\,R + g_{ab} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T_{ab}$

Y como el tensor de curvatura de Ricci es "menos información" que el tensor de curvatura de Riemann porque:

$R_{ab} = R^c{}_{acb}$

y el escalar de curvatura de Ricci es incluso "menos información" que el tensor de curvatura de Ricci porque

$R = R^a{}_{a}$

Esto parece indicar que las ecuaciones de campo de la RG no contienen suficiente información para especificar cómo evoluciona el tensor de curvatura de Riemann completo. Así que parece que falta algo. ¿Es posible siquiera decir cómo evoluciona el tensor de curvatura de Riemann completo en la RG?

Dado que el tensor de curvatura de Riemann puede obtenerse a partir de la métrica, si podemos resolver cómo evoluciona la métrica utilizando el tensor de curvatura de Ricci, podemos obtener la evolución del tensor de curvatura de Riemann. Así que la ecuación es equivalente a la pregunta del título, ¿qué es lo que necesitamos para resolver la métrica en la RG?

En los libros en los que obtienen la solución fuera de un objeto esférico estático, parecen remitirse siempre al límite newtoniano y comparar con la gravedad newtoniana para fijar completamente la respuesta. Esto da un poco de miedo, ya que parece sugerir de hecho que la RG necesita algunas otras ecuaciones especificadas para obtener la respuesta.

Si elijo un sistema de coordenadas y especifico la métrica en todas partes en algún momento inicial, ¿es suficiente esa métrica inicial + las ecuaciones de campo de la RG para resolver la métrica en todas partes del espaciotiempo? ¿O hay alguna forma de utilizar la RG para obtener la métrica sin necesidad de poner ninguna geometría previa?

Answer 1

Estimado Juan, permítame publicar lo mismo que ha dicho Marek como respuesta estándar.

Las ecuaciones de Einstein no son ecuaciones para el tensor de Riemann porque las componentes del tensor de Riemann no son campos independientes. En cambio, las ecuaciones de Einstein son ecuaciones diferenciales para el tensor métrico.

En 4 dimensiones, el tensor métrico tiene 10 componentes -un tensor simétrico- y las ecuaciones de Einstein también tienen 10 componentes -un tensor simétrico-. No importa que el tensor de Riemann tenga 20 componentes porque estas 20 funciones de espacio y tiempo se calculan a partir de las 10 funciones componentes del tensor métrico y sus (primera y segunda) derivadas.

De hecho, el recuento de 10 a 10 está demasiado simplificado. Cuatro "combinaciones diferenciales" de las ecuaciones de Einstein desaparecen idénticamente porque $\nabla_\mu R^{\mu\nu}=0$ es una identidad (que siempre se mantiene, aunque no se satisfagan las ecuaciones del movimiento). La misma identidad es válida para los otros tensores correspondientes que se añaden al tensor de Ricci en las ecuaciones de Einstein.

Así, en lugar de 10 ecuaciones, las ecuaciones de Riemann son, en cierto sentido, sólo 6 ecuaciones independientes. Eso significa que no determinan la métrica por completo: dejan 4 funciones sin determinar y éstas son exactamente las 4 funciones que puedes elegir arbitrariamente para especificar un difeomorfismo, mapeando una solución en otra solución (equivalente).

Hasta las transformaciones de coordenadas que siempre se permiten, las condiciones iniciales para la métrica y su primera derivada determinan el tensor métrico -y, por tanto, todo el tensor de Riemann- en cualquier lugar del futuro. No se necesita ninguna ecuación newtoniana como "complemento obligatorio" en la relatividad general. Eso no significa que el límite newtoniano no sea importante: por supuesto, es una de las consecuencias aproximadas más importantes de la relatividad general.