condiciones periódicas de contorno para vórtices en una red cuadrada

Question

Intento seguir este documento y seguir la dinámica del movimiento de los vórtices en una red discreta (cuadrada). La idea es simular la evolución temporal de la ecuación de Gross-Pitaevskii (GP), que es la siguiente (en unidades reescaladas)

$$i \partial_t \psi = - \nabla^2 \psi + |\psi|^2 \psi.$$

Como condición inicial se toma una función de onda de la forma de la Ec. (10) en el documento antes mencionado,

$$\psi(z) = \prod_{z_+ \in [Z_+]} \frac{(z-z_+)}{|z-z_+|} \prod_{z_- \in [Z_-]} \frac{(z^*-z_-^*)}{|z-z_-|}$$

donde $z=x+iy$ son coordenadas complejas. Esta función de onda describe un conjunto de vórtices (V) con coordenadas $z_+$ en $Z_+$ y un conjunto de antivórtices (AV) con coordenadas $z_-$ en $Z_-$ . Esto equivale a utilizar una función de onda del tipo $e^{i \phi}$ (coordenadas polares) para los vórtices y $e^{-i \phi}$ para los antivórtices, con $\phi$ el ángulo polar. Se puede calcular la velocidad como gradiente de la fase de la función de onda compleja. A continuación se muestra un ejemplo del campo de velocidad asociado, para un V en (x,y)=(0,2,5) y AV en (0,-2,5).

Esto debería corresponder a la Fig. 1 del documento. Sin embargo, hay varias cosas que no entiendo.

En primer lugar, ¿por qué dicen los autores que no pueden estudiar la dinámica de un solo vórtice, sino que deben incluir un antivórtice en las condiciones iniciales para satisfacer las condiciones periódicas de contorno?

En segundo lugar, aparte del par inicial V-AV, también parecen incluir "unas cuantas imágenes en espejo con respecto al límite". Sin embargo, no especifican cuántas ni dónde están situadas. (Supongo que la imagen de espejo de una V es una AV y viceversa, por favor, corríjanme si me equivoco).

Por último, mencionan "hacer evolucionar el sistema en tiempo imaginario" para "enfriarlo" (¡aunque no se incluye ninguna temperatura en el modelo!) y luego "encender un superflujo" y continuar la evolución en tiempo real. Yo pensaba que todo lo que se necesitaba era la discretización de la ecuación GP y seguir su evolución dada la función de onda inicial y las condiciones periódicas de contorno ( $\psi(\text{left margin})=\psi(\text{right margin})$ et $\psi(\text{top margin})=\psi(\text{bottom margin})$ ).

Editar

Siguiendo la sugerencia de @BebopButUnsteady, repetí la "unidad" de mi sistema, el par V-AV, hasta obtener el siguiente patrón de mosaico (los vórtices son círculos, los AV son cuadrados)

Veamos primero las partes real (izquierda) e imaginaria (derecha) de las funciones de onda para el par inicial V-AV:

Se puede observar que, sobre todo en la parte imaginaria, los valores de los límites no son iguales. Ahora empezamos a añadir copias de la "celda unidad" a lo largo del eje x, y trazamos un corte a través de la parte imaginaria de la wf:

Parece que, a medida que aumentamos el número de copias, los valores de los extremos se acercan cada vez más a 0, que sería el caso periódico ideal. Por supuesto, esto es sólo numérica, no tengo ninguna prueba formal todavía que este procedimiento realmente converge.

Answer 1

No puedes tener una vorticidad total con condiciones de contorno periódicas, ya que si tomas una trayectoria alrededor de todos tus vórtices, tendrá una circulación distinta de cero. Pero tienes bc periódicas, por lo que puedes deformar continuamente esa trayectoria hasta un punto, y un punto tiene circulación cero.

Las imágenes especulares no son exactamente lo mismo que en electrostática. Queremos condiciones de contorno periódicas. Para obtener condiciones de contorno periódicas, imagina que cubres el plano con tu sistema. Esto será trivialmente periódico y por lo que sólo puede tomar un azulejo, y trabajar con eso. Así que quieres que la imagen especular de un vórtice sea un vórtice.

(En electrostática se suelen utilizar imágenes especulares no para imponer condiciones de contorno periódicas, sino para imponer una tensión constante. Por eso se invierte el signo de la carga especular. Aquí queremos c.b. periódicas. Si invirtieras el signo de los vórtices creo que obtendrías condiciones de contorno *anti*periódicas, pero no me cites).

Esta evolución en tiempo imaginario es presumiblemente una operación de tipo "recocido". Eres libre de ejecutar la ecuación GP en cualquier condición inicial que desees. Sin embargo, para ver limpiamente la interacción de los vórtices, queremos que los vórtices estén en su estado fundamental. De lo contrario, cuando activemos la evolución temporal, se desharán de su exceso de energía desprendiendo ondas y otras porquerías.

Una forma de llegar al estado fundamental es hacer evolucionar tu ecuación en "tiempo imaginario". Su evolución temporal habitual es $\exp(i\hat{H}t)$ . Si enchufa $t = i\tau$ obtienes $\exp(-\hat{H}\tau)$ . Al aplicar esto a un estado se suprimen exponencialmente los componentes de mayor energía, por lo que te deshaces de las cosas de alta energía. Esto está relacionado con la temperatura finita (basta con sustituir $\tau$ con $\beta$ y ya tienes la función de partición), pero para tus propósitos puedes considerarlo simplemente un conveniente truco matemático.

Tenga en cuenta que, dado que está recocinando de todos modos, los detalles específicos del estado en el que comienza pueden no ser tan importantes, ya que terminará en el mismo lugar de todos modos (con suerte).

Por último, son un poco escasos en detalles, por lo que si piensa utilizar esta obra, debería enviar a los autores un correo electrónico solicitando información detallada.