Evalúe $\lim_{n\to \infty} \frac{5^n(n!)^2}{(2n)!}$

Question

Me he atascado en cómo mostrar que $\lim_{n\to \infty} \frac{5^n(n!)^2}{(2n)!}$ tiende a $\infty$ .

Si intento desarrollarlo más, me sale: $$\lim_{n\to \infty} \frac{5^n(n!)^2}{(2n)!}=\lim_{n\to \infty} \frac{5^n(n!)}{(n+1)(n+2)...(2n)}=\lim_{n\to \infty} \frac{5^n(n!)}{n^n(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})...(2)}\ge{??}$$

y no importa lo que elija para intercambiar el denominador, de todas las maneras lo hago demasiado grande y entonces tiende a $0$ en lugar de a $\infty$ .

Agradecería su ayuda.

Answer 1

$\binom{2n}{n}$ es el término medio de la expansión de $(1+1)^{2n}=4^n,$ tan ciertamente $\binom{2n}{n}<4^n.$ Su plazo es $5^n$ dividido por $\binom{2n}{n}$ haciendo que ese plazo al menos $\frac{5^n}{4^n}$ que tiende a $+\infty.$

Answer 2

Intenta demostrar que $(2n)! \le 4^n (n!)^2$ . Puede hacerlo teniendo en cuenta $$(2n)! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \le 2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \cdots (2n)^2.$$

Answer 3

La secuencia crece exponencialmente: $$ \frac{\frac{5^{n+1}((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}}{\frac{5^n(n!)^2}{(2n)!}} = \frac{5(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} = \frac{5(n+1)}{2(2n+1)} > \frac54-\epsilon. $$

Answer 4

Recordemos la fórmula de Stirling: \begin{align*} n!\sim \sqrt{2\pi n}\frac{n^{n}}{e^{n}}. \end{align*} Así que \begin{align*} \frac{5^{n}(n!)^{2}}{(2n)!}\sim\frac{5^{n}(2\pi n) \frac{n^{2n}}{e^{2n}}}{\sqrt{4\pi n}\frac{(2n)^{2n}}{e^{2n}}}=\Big(\frac{5}{4}\Big)^{n}\sqrt{\pi n}, \end{align*} que tiende a $\infty$ como $n\to\infty$ .

Answer 5

${u_{n+1}\over u_n}= {5(n+1)^2\over (2n+2).(2n+1)} \sim 5/4$ Por lo tanto $u_n\geq C(5/4)^n$ . Más fácil que usar Stirling...