Convergencia débil e integrales

Question

Supongamos que $$u_k\rightharpoonup u,\quad v_k\rightharpoonup v\quad\text{in}\quad L^1(0,T;Y)\tag{1}$$ y $$\int_0^T u_k(t)\varphi'(t)\ dt=-\int_0^T v_k(t)\varphi(t)\ dt\tag{2}$$ para algunos $\varphi\in C_0^\infty(0,T)$ . "Pasando al límite" obtenemos $$\int_0^T u(t)\varphi'(t)\ dt=-\int_0^T v(t)\varphi(t)\ dt.\tag{3}$$

Mi pregunta es: ¿Cómo justificar este paso al límite?

Observación: este paso al límite es un paso de la prueba de que "las derivadas generalizadas son compatibles con los límites débiles" en el sentido siguiente: $$u_k\rightharpoonup u\text{ in }L^p(0,T;Y)\quad \text{and}\quad u_k'\rightharpoonup v\text{ in }L^q(0,T;Y)\qquad \Rightarrow \qquad u_t=v,$$ donde $1\leq p,q<\infty$ (página 419 de El libro de Zeidler ). Escribir $u_k'=v_k$ , $(2)$ se obtiene a partir de la definición de derivada generalizada. Y $(1)$ se obtiene a partir de la incrustación continua $$L^s(0,T;Y)\subseteq L^r(0,T;Y),\quad 1\leq r\leq s\leq\infty.$$ El autor afirma que $(3)$ se deduce de la proposición siguiente, pero no la he entendido. Así que me gustaría una explicación.

Gracias.

Answer 1

Desde $\varphi\in C_0^\infty(0,T)$ también tenemos $\varphi'\in C_0^\infty(0,T)$ . Las convergencias débiles $u_k\rightharpoonup u$ et $v_k\rightharpoonup v$ implican que $$ \lim_{k\to\infty}\int_0^Tu_k(t)\eta(t)dt=\int_0^Tu(t)\eta(t)dt $$ y $$ \lim_{k\to\infty}\int_0^Tv_k(t)\eta(t)dt=\int_0^Tv(t)\eta(t)dt $$ para todos $\eta\in C_0^\infty(0,T)$ . (Si has definido el límite débil de alguna otra manera, házmelo saber). Ahora bien, si dejas que $\eta=\varphi'$ en la primera identidad y $\eta=\varphi$ en la segunda, se encuentra $$ \int_0^Tu(t)\varphi'(t)dt = \lim_{k\to\infty}\int_0^Tu_k(t)\varphi'(t)dt = -\lim_{k\to\infty}\int_0^Tv_k(t)\varphi(t)dt = -\int_0^Tv(t)\varphi(t)dt. $$

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Adenda: ¿Por qué la convergencia débil $u_k\rightharpoonup u$ en $L^1(0,T;Y)$ implican que $$ \lim_{k\to\infty}\int_0^Tu_k(t)\eta(t)dt=\int_0^Tu(t)\eta(t)dt\quad\text{in }Y\tag{1} $$ para todos $\eta\in C_0^\infty(0,T;\mathbb R)$ ? Trabajaré hacia atrás, partiendo de esta afirmación y yendo hacia lo que sabemos.

En primer lugar, el límite es débil. (Si resulta que también es fuerte, en realidad no lo necesitamos). Lo único que necesitamos es que el límite exista y que los límites sean únicos; quizá hubiera sido más sensato utilizar otra notación que no fuera simplemente $\lim$ .

El límite $u_k\rightharpoonup u$ es en cierto sentido "doblemente débil": Para cualquier función de prueba $\eta$ el límite (1) se mantiene débilmente. Es decir, para cualquier $\eta$ y cualquier $f\in Y'$ tenemos $$ \lim_{k\to\infty}f\left(\int_0^Tu_k(t)\eta(t)dt\right)=f\left(\int_0^Tu(t)\eta(t)dt\right)\quad\text{in }\mathbb R. $$ La función lineal continua $f$ conmuta con la integración, lo que significa que $$ \lim_{k\to\infty}\int_0^Tf(u_k(t))\eta(t)dt=\int_0^Tf(u(t))\eta(t)dt\quad\text{in }\mathbb R.\tag{2} $$ Considere la función $F:(0,T)\to Y'$ dada por $F(t)=\eta(t)f$ . Claramente $F\in L^\infty(0,T;Y')$ por lo que la convergencia (2) es la misma que $$ \lim_{k\to\infty}\langle F,u_k\rangle=\langle F,u\rangle, $$ donde $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es el emparejamiento de dualidad. Pero esto se deduce de la supuesta convergencia débil de $u_k$ a $u$ .