Acción del operador de permutación sobre otros operadores

Question

Estoy viendo MIT 8.06 Física cuántica, conferencia $23.2$ Véase, por ejemplo [1] En particular Ver $5:41$ . Se demuestra que $$P_{21}B(1)P^\dagger_{21}|u_i\rangle_1\otimes |u_j\rangle_2=|u_i\rangle_1\otimes |B u_j\rangle_2.$$ Tengo problemas de pareja en la definición de $B$ sí mismo. Se ha dicho que $B\in \mathcal{L}(\mathbb{V})$ . ¿Cómo funciona este operador que está en $\mathbb{V}$ puede actuar sobre el espacio vectorial producto? Su propia dimensionalidad no coincide.

La definición habitual que he leído es $\Gamma_1^{(1)}\otimes \Lambda^{(2)}_2$ al actuar sobre la base en el producto ket.

$$\Gamma_1^{(1)}\otimes \Lambda^{(2)}_2|\phi\rangle \otimes |\chi\rangle=|\Gamma^{(1)}_1\phi\rangle \otimes |\Gamma^{(2)}_2\chi\rangle $$ donde $\phi$ et $\chi$ se utiliza para mostrar la etiqueta $1$ et $2$ . Considerando lo mismo, ¿Cómo puedo demostrar el resultado anterior?

$$P_{21}\Gamma^{(1)}_1\otimes I^{(2)} P^\dagger_{21} |\phi_i\rangle \otimes |\chi_j\rangle =P_{21}\Gamma^{(1)}_1\otimes I^{(2)} |\phi_j\rangle \otimes |\chi_i\rangle =P_{21}|\Gamma^{(1)}_1\phi_j\rangle \otimes |\chi_i\rangle. $$ No sé, ¿qué va a pasar ahora? Llegó a la misma cuestión, ¿Cómo $B$ puede actuar en cualquiera de los espacios?

Answer 1

Aquí debe entenderse que $B(1)$ es la abreviatura de $B\otimes\mathbb{I}$ et $B(2)$ es la abreviatura de $\mathbb{I}\otimes B$ .

Que yo sepa, las permutaciones sólo se definen para partículas/estados idénticos. Entonces puedes seguir tu lección, pero sustituyendo $B(n)$ con la definición apropiada de arriba. Sea $|u_i,u_j\rangle = |u_i\rangle\otimes|u_j\rangle$ .

$$P_{21}|B,1\rangle P^\dagger_{21} |u_i,u_j\rangle = P_{21}|B,1\rangle |u_j,u_i\rangle = P_{21}|Bu_j,u_i\rangle=|u_i,Bu_j\rangle=B(2)|u_i,u_j\rangle$$