En todos los textos de termodinámica que he visto, expresiones como $\operatorname{ln}T$ y $\operatorname{ln}S$ donde $T$ es la temperatura y $S$ es la entropía, y también con otras magnitudes termodinámicas como el volumen $V$ etc. Pero siempre he pensado que esto es incorrecto porque los argumentos $x$ en expesiones como $\operatorname{ln}x$ y $e^x$ debe ser adimensional. De hecho, en la licenciatura siempre intenté reescribir estas expresiones en la forma $\operatorname{ln}\frac{T}{T_0}$ . Entonces, ¿es correcto utilizar expresiones como $\operatorname{ln}T$ ¿a algún nivel?
Respuestas
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Tiene toda la razón sobre el análisis dimensional. El uso de $ \ln T $ etc. es siempre una abreviatura de $ \ln \left(\frac{T}{T_0}\right) $ que está bien usar si por alguna razón no te importa $ T_0 $ es decir, porque se anula o porque sólo te interesa el comportamiento asintótico.
En cualquier expresión en la que haya que tomar derivadas para obtener cantidades observables (función de partición, funcional generador, etc.), está bien omitir la escala:
$$ \mathrm{d} \ln \left(\frac{T}{T_0}\right) = T^{-1} \mathrm{d}T $$
independiente de $ T_0 $ .
Se trata de una taquigrafía perezosa, muy apreciada por los físicos :)
deadbug
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Además, matemáticamente, no hay nada malo en tomar el logaritmo de un valor expresado en unidades arbitrarias. El logaritmo sólo convierte los factores multiplicativos desconocidos en términos aditivos desconocidos. Por ejemplo, $$\log(T\ {\rm K}) = \log(T) + \log(1\ {\rm K}).$$
Claro, acabas con un término constante de $\log(1\ {\rm K})$ que no tiene un valor fijo, pero no es peor en ese sentido que cualquier otra constante desconocida. Si se anula, ¡genial! Si no, simplemente hay que cargar con ella hasta que se pueda hacer algo con ella (como, por ejemplo, exponenciarla para recuperar un factor de $\rm K$ de nuevo).
Siempre que esté de acuerdo en que $T\ {\rm K}$ representa un valor escalar positivo, tiene un logaritmo bien definido, aunque se desconozca su valor exacto. No está menos definido que $\log(2x) = \log(2) + \log(x)$ donde $x$ es cualquier valor positivo desconocido. (Por supuesto, eres libre de trabajar en un sistema en el que insistas arbitrariamente en que $1\ {\rm K}$ no es un escalar positivo y $\log(1\ {\rm K})$ no está definido. Pero la cuestión es que puede definirlo, de la manera "obvia", sin introducir incoherencias).
Ps. Quizá merezca la pena señalar que podemos hacerlo porque $\rm K$ es una unidad multiplicativa ordinaria que obedece a todas las reglas habituales de la aritmética, tales como $1\ {\rm K} + 1\ {\rm K} = 2\ {\rm K}$ y $1\ {\rm K} \cdot 1\ {\rm K} = 1\ {\rm K}^2$ . No podríamos hacerlo para "unidades afines" como $\rm ^\circ C$ que ya ocultan una constante aditiva en la notación. Podría decirse que esto se debe a que al escribir $x\ {\rm ^∘C}=(273.15+x)\ {\rm K}$ es en sí mismo un abuso de notación, conservado por razones históricas.
