$\phi \in L^1 \iff m(\{\phi \neq 0\})<\infty$

Question

Sea $\phi$ sea una función positiva y simple. Demostrar $\phi \in L^1 \iff m(\{\phi \neq 0\})<\infty$ .

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Mi intento: $(\iff)$

$\{\phi \neq 0\}=\{\phi >0\}\cup \{\phi <0\}.$

Supongamos que $\phi :E\to [0,+\infty),$ entonces $\int_{E}\phi \:d =\int_{\{\phi >0\}\cup \{\phi <0\}\cup \{\phi = 0\}}\phi \:d= \int_{\{\phi >0\}}\phi \:d+\int_{\{\phi <0\}}\phi \:d+ \int_{\{\phi =0\}}\phi \:d.$

$\phi $ es integrable en $\{\phi =0\}$ así que para $\phi \in L^1(E)$ debe ser que

$\int_{\{\phi >0\}}\phi \:d< \infty$ y $\int_{\{\phi <0\}}\phi \:d<\infty,$

sino porque $\phi$ es simple ( $\int_{\{\phi >0\}}\phi \:d =\sum a_im(\{\phi >0\})$ es decir $m(\{\phi <0\})<\infty $ , $m(\{\phi >0\})<\infty \Rightarrow m(\{\phi \neq 0\})<\infty$ .

Answer 1

No, este paso es incorrecto.

$\int_{\{\phi >0\}}\phi \:d =\sum a_im(\{\phi >0\})$

Debe ser $$ \int_{\{\phi >0\}}\phi \:d =\sum_{i=1}^n a_im(A_i) $$ con $a_i>0$ y $a_i\neq a_j$ para $i\neq j$ . Es finito si $m(A_i)<\infty~\forall i$ . Como su unión disjunta es $$ \bigsqcup_{i=1}^n A_i=\{\phi>0\}, $$ obtenemos que $m\left(\{\phi>0\}\right)<\infty$ si $\int_{\{\phi >0\}}\phi \:d\mu<\infty$ . Idem para $\{\phi <0\}$ concluyendo la prueba.