Análisis Real Pregunta Suprema

Question

Estoy trabajando en la siguiente pregunta corta

Denote por $\boldsymbol{D} $ el conjunto de todos los decimales finitos. Demostrar que sup $\left \{ a \in \boldsymbol{D} | a^2 \leq 3 \right \}=\sqrt{3}$

Creo que lo he entendido, y entiendo la pregunta. Simplemente no estoy seguro de que mi respuesta sea lo suficientemente completa.

Utilizo la desigualdad $a^2 \leq 3$ .

$$- \sqrt{3} \leq a \leq \sqrt{3}$$

Así que cualquier $M \geq \sqrt{3}$ es un límite superior. Así que $a \leq \sqrt{3} \leq M$ demostrando que sup $\left \{ a \in \boldsymbol{D} | a^2 \leq 3 \right \}=\sqrt{3}$ . ¿Es suficiente? Es para una tarea, así que ¿debería entrar en la definición de supremum? ¿Por qué el supremum no es 3?

Answer 1

Ha demostrado que $\sqrt{3}$ es un límite superior del conjunto $\{a\in \mathbf{D}\mid a^2\leq 3\}$ pero no que sea el límite superior mínimo. Supongamos que $M$ es otro límite superior del conjunto, es decir $a\leq M$ para cada $a\in\mathbf{D}$ con $a^2\leq 3$ .

Supongamos por contradicción que $M<\sqrt{3}$ . Pero existe un $a\in \mathbf{D}$ en medio $M$ y $\sqrt{3}$ es decir $M<a<\sqrt{3}$ lo que demuestra que $M$ no es un límite superior, y por lo tanto la suposición de que $M<\sqrt{3}$ es falso. Concluimos que $\sqrt{3}\leq M$ para cualquier límite superior, lo que significa exactamente que $\sqrt{3}$ es el supremum.

Tenga en cuenta que en realidad $\sup\{a\in\mathbb{R}\mid a^2\leq 3\}=\sqrt{3}$ .

Answer 2

Como otros han dicho, el supremum no es $3$ ya que estamos buscando el conjunto de todos los decimales finitos tales que $a^2\leq3$ . Tomando la raíz cuadrada de ambos lados se obtiene $a\leq\sqrt{3}$ . Yo lo enfocaría de la siguiente manera:

Sea $\sqrt{3}=1.a_1a_2\ldots$ y $A=\{a\in \mathbf{D}:a^2\leq3\}$ . Sea $(\sqrt{3})_n=1.a_1a_2\ldots a_n$ . Obsérvese que para todos los $n$ , $$(\sqrt{3})_n<\sqrt{3},$$ así $(\sqrt{3})_n\in A$ . Ahora, observe que $$\sqrt{3}-(\sqrt{3})_n<10^{-n+1}.$$ Por la propiedad arquimediana, para cualquier $\varepsilon>0$ podemos hacer que el lado derecho sea tan pequeño como queramos, por lo que podemos hacer que $(\sqrt{3})_n$ tan cerca de $\sqrt{3}$ como queramos. Esto muestra explícitamente que el límite superior mínimo tiene que ser $\sqrt{3}$ .

Answer 3

El supremum no es $3$ porque el supremum es el límite superior más pequeño y estoy seguro de que podrías encontrar otro $b < 3$ para lo cual $b^2 \leq 3$ retenciones.

Answer 4

Un argumento de contradicción funciona bien en este caso: si $S$ es el supremum y $S < \sqrt{3}$ entonces puedes encontrar un decimal finito $d$ que satisfaga $S < d < \sqrt{3}$ lo que contradice $S$ siendo un límite superior del conjunto que tienes ahí.

En general, para ser un supremum hay que serlo:

• Un límite superior, y además,
• el límite superior mínimo

Estuviste bien en el primer punto, pero no en el segundo.

Para responder a su última pregunta de por qué el supremum no es 3 - es porque existe un límite superior inferior ( $\sqrt{3}, 2, 2.1$ etc.)