Convergencia de una secuencia de convoluciones

Question

Sea $(a_n)$ sea una sucesión de números reales tal que $$ a_0>a_1>\cdots>0 $$ y $M:=\sum_{n=0}^\infty a_n<+\infty$ . Denotemos $$ g_n=\frac{1}{a_n}\cdot 1_{[0,a_n]} $$ y definir $$ f_n=g_0*g_1*\cdots*g_n $$ donde $*$ significa las circunvoluciones. Demuestre que $\{f_n\}$ converge puntualmente.

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Lo que he hecho hasta ahora es que $$ f_{n+1}(x)=f_n*g_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}}\int_{[x-a_{n+1},a_{n+1}]}f_n(y)\ dy. $$ y $f_n(x)=0$ para $x\not\in[0,M]$ y para todos $n$ . No veo cómo encontrar un límite puntual en $[0,M]$ .

Answer 1

Considere que cada $g_n$ es la FDP de una variable aleatoria, digamos $X_n$ . Entonces $f_n$ es la PDF de $X_1+\ldots+X_n$ y puesto que $\text{supp}(f * g)=\text{supp}(f)+\text{supp}(g)$ y $\sum a_n$ está limitada, $\text{supp}(f_n)\subseteq [0,K]$ y $f_n$ es una función no negativa de soporte compacto con integral unitaria. Además, $f_n$ es la PDF de una distribución simétrica unimodal y $f_n\in C^{(n-1)}(0,K)$ .

Sin embargo, aún se me escapa un argumento sencillo para demostrar la convergencia puntual sin pasar a las transformadas de Fourier, pero seguiré pensando en ello.

Una forma sencilla puede ser proporcionar algunos $\ell^1$ o $\ell^2$ para $\left|f_{n+1}(x)-f_n(x)\right|$ para cada $x\in(0,K)$ como David Ullrich.

Answer 2

De una forma u otra demostrar que $f_1$ es continua. Ahora el Teorema Fundamental del cálculo muestra que $f_n$ es continuamente diferenciable para $n\ge2$ y de hecho $$f_n'(x)=\frac1{a_n}(f_{n-1}(x-a_n)-f_{n-1}(x))\quad(n\ge2).$$ Sea $$c_n=\sup_{x\in\Bbb R}|f_n'(x)|.$$ El teorema del valor medio demuestra que $c_n\le c_{n-1}$ para $n\ge3$ por lo que tenemos $$|f_n'(x)|\le c\quad(n\ge 3).$$

Voy a dejar de escribir $n\ge2$ una y otra vez. Ahora $$f_n(x)-f_{n-1}(x)=\frac1{a_n}\int_0^{a_n}(f_{n-1}(x-t)-f_{n-1}(x))\,dt,$$ por lo que de nuevo MVT muestra que $$|f_n(x)-f_{n-1}(x)|\le\frac1{a_n}\int_0^{a_n}ct\,dt=\frac c2a_n.$$ Desde $\sum a_n<\infty$ esto muestra $f_n$ converge uniformemente.

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BONO: De hecho, el límite es $C^\infty$ . Primero recordemos un poco de cálculo:

Lema Si $f_n\to f$ uniformemente y $f_n'\to h$ uniformemente entonces $f$ es diferenciable y $f'=h$ .

Ahora, para $n>2$ o $n>3$ o cualquier "diferenciación bajo la integral" (o varios otros argumentos) muestra que $$f_{n+1}'=g_{n+1}*f_n'.$$ Así que el mismo argumento que demostró que $f_n$ es uniformemente convergente muestra que $f_n'$ también es uniformemente convergente, y entonces el lema muestra que $f=\lim f_n$ es diferenciable. Análogamente para derivadas superiores, bien por inducción o bien observando que $f_{n+1}^{(k)}=g_{n+1}*f_n^{(k)}$ para grandes $n$ .