¿Qué fórmula de GBM es correcta?

Question

Estoy intentando escribir un sencillo simulador de GBM. Por desgracia, la tarea se ha vuelto bastante difícil.

El primer enfoque que estudié era el más obvio. Podría utilizar la solución analítica para el GBM encontrada aquí :

$S_t = S_0exp((\mu - \frac{\sigma^2}{2})t + \sigma W_t)$

Su aplicación es relativamente sencilla, salvo que el $W_t$ El $t$ -ésima observación de un proceso browniano. Siguiendo la dirección de este tutorial sobre el movimiento browniano me dejó perdido en cuanto a su aplicación. Parecía ser:

1. Simular un proceso browniano a partir de $W_0$ a $W_t$
2. Para cada $x$ de $0$ a $t$ utilice $W_x$ para resolver $S_x$

Esto parecía excesivamente complicado en comparación con lo que recordaba de hacer simulaciones hace unos años. Tropezando con este artículo me encontré con una fórmula interesante que he visto antes:

$\frac{\Delta S}{S} = \mu \Delta t + \sigma \epsilon \sqrt{\Delta t}$

Dónde $\epsilon$ es un choque extraída de la distribución normal estándar $N(0, 1)$ . $\Delta t$ es obviamente el cambio en el tiempo desde $S_t$ a $S_{t + \Delta t}$ . Quizás para datos diarios $\Delta t = 1$ . Esto es un poco más cerca de lo que recuerdo - aunque no hay componente browniana aquí -. $W_t$ . ¿Adónde ha ido?

No estoy seguro de cuál de estos debería usar que sería más correcto . Actualmente estoy volviendo a aprender cálculo estocástico después de muchos años y me inclino por utilizar la SDE (¡si pudiera averiguar cómo simular fácilmente el movimiento browniano!). Sin embargo, la segunda solución, más sencilla, también me intriga si pudiera averiguar cómo se deriva.

Answer 1

El movimiento browniano geométrico está definido por la SDE:

$$dS_t = \mu S_tdt + \sigma S_tdW_t$$

La primera fórmula que muestras es la solución analítica exacta de esta ecuación. La segunda fórmula es una aproximación a la EDE conocida como método de Euler-Maruyama en general. Básicamente, sustituye los incrementos infinitesimales por pequeños deltas, y evalúa las funciones de deriva y difusión al principio del intervalo (es decir, en $t$ ), así:

$$S_{t+\Delta t} - S_t= \mu S_t\Delta t + \sigma S_t \left(W_{t+\Delta t}-W_t\right)$$

Por definición del movimiento browniano, los incrementos se distribuyen como:

$$W_{t+\Delta t}-W_t \sim \mathcal{N}(0,\Delta t)$$

Así que si dejamos que $\varepsilon_t \sim^{\text{iid}} \mathcal{N}(0,1)$ Esto es lo mismo que tienes tú:

$$S_{t+\Delta t} - S_t= \mu S_t\Delta t + \sigma S_t \left(\sqrt{\Delta t}\varepsilon_t\right)$$

Es decir, el $\sqrt{\Delta t}\varepsilon_t$ es "donde el $W_t$ fue".

En el caso de esta ecuación concreta, el método de Euler-Maruyama no es necesario porque, como has mencionado, tenemos una fórmula exacta. El único problema es cómo simular $W_t$ . Esto no es particularmente difícil ya que los incrementos $W_{t+\Delta t} - W_t$ son independientes y se distribuyen normalmente, por lo que basta con extraer variantes normales independientes con varianza $\Delta t$ y, a continuación, calcular la suma acumulada para obtener $W_t$ para cada $t$ que necesitas. Una vez que tenga un camino para $W_t$ e introdúzcala en la solución analítica para obtener una trayectoria para $S_t$ .

Answer 2

Lo mejor es simular el movimiento browniano mediante

$ W_0 = 0, $

$ W_{t+\Delta t} = W_t + \sqrt{\Delta t}\ \rm{N(0,1)} $

y luego introducirlo en la primera fórmula que has mencionado:

$ S_t = S_0 \exp((μ − σ^2 / 2)t + \sigma W_t). $

Con $\Delta t$ suficientemente pequeño obtendrá trayectorias bastante realistas, como estos .