Defina $f$ como sigue: $f(x)=e^{-1/x^2}$ si $x\neq 0$ y $f(0)=0$ .
Demuestra que $f^{(n)}(0)$ es continua para todo $x$ y $f^{(n)}(0)=0$ . $n=1,2,\dots$ .
Para demostrarlo, he demostrado que para $x\neq 0$ tenemos $f^{(n)}(x)=e^{-1/x^2}P_{3n}(1/x),$ donde $P_{3n}(t)$ es un polinomio real de grado $3n$ .
Por lo tanto, para demostrar que $f^{(n)}(0)=0,$ Usaré la inducción. $n=1$ es trivial. Supongamos que $n=k$ retenciones. Entonces como $n=k+1$ tenemos
$\frac{f^{(k)}(x)-f^{(k)}(0)}{x-0}=\frac{f^{(k)}(x)}{x}=\frac{e^{-1/x^2}P_{3k}(1/x)}{x}$ .
Ahora necesito demostrar que el límite de la fracción anterior como $x\to 0$ tiende a $0$ . Para el caso $x\to 0^{+}$ puedo argumentar lo siguiente.
Sustituir $t=1/x$ en la fracción anterior, entonces obtenemos
$\frac{e^{-1/x^2}P_{3k}(1/x)}{x}=\frac{tP_{3k}(t)}{e^{t^2}}=(\frac{tP_{3k}(t)}{e^t})(\frac{e^t}{e^{t^2}})\to 0$ como $t\to \infty$ ya que tenemos $\lim_{x\to \infty}\frac{P(x)}{e^x}=0$ .
Sin embargo, tengo problemas para mostrar el caso de $x\to 0^{-}$ ya que $\lim_{\to -\infty}\frac{P(x)}{e^x}$ no existe para todos los polinomios.
¿Cómo puedo solucionar este problema? Agradecería enormemente cualquier ayuda.
(añadido)
Mi intento: $\lim_{x\to 0^{-}}\frac{e^{-1/x^2}P_{3k}(1/x)}{x}=\lim_{x\to 0^{-}}e^{-1/x^2}P_{3k+1}(1/x)=\lim_{x\to 0^{+}}e^{-1/x^2}P_{3k+1}(-1/x)=\lim_{t\to \infty}e^{-t^2}P_{3k+1}(-t)=\lim_{t\to\infty}\frac{P_{3k+1}(-t)}{e^t}\cdot \frac{e^t}{e^{t^2}}=0\cdot 0=0$
$\lim_{t\to\infty}\frac{P_{3k+1}(-t)}{e^t}=0$ ya que
$|\frac{P_{3k+1}(-t)}{e^t}|\le\frac{P_{3k+1}(|-t|)}{e^t} \to 0$ como $t\to \infty$ .
