¿Por qué encontrar la proyección de $e^x$ en el subespacio de polinomios viene dado por este sistema de ecuaciones

Question

¿Por qué la proyección de $e^x$ en el subespacio de polinomios viene dada por este sistema :

Encontrar la proyección ortogonal también se puede hacer resolviendo para a,b, el sistema $$\langle 1,e^x-(a+bx)\rangle=0\\ \langle x,e^x-(a+bx)\rangle=0$$ o, en forma de matriz $$ \begin{pmatrix} \langle1,1\rangle & \langle 1,x\rangle \\ \langle x,1\rangle & \langle x,x\rangle\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\langle 1,e^x\rangle\\\langle x,e^x\rangle\end{pmatrix}.$$

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Answer 1

La proyección ortogonal de una función $f$ en un subespacio $U$ es la única función $g$ tal que $$f=g+h,$$ con $g\in U$ y $h\in U^{\perp}$ es decir $\langle h,u\rangle=0$ para todos $u\in U$ . Tenga en cuenta que $h=f-g$ .

En este caso $f=e^x$ y $U=\operatorname{span}\{1,x\}$ así que $g\in U$ significa que $g=a+bx$ para algunos escalares $a$ y $b$ y, por tanto $$h=f-g=e^x-(a+bx),$$ y queremos $\langle h,u\rangle=0$ para todos $u\in U$ . Porque $U=\operatorname{span}\{1,x\}$ basta con comprobar que $$\langle h,1\rangle=0\qquad\text{ and }\qquad \langle h,x\rangle=0,$$ que dan precisamente las ecuaciones dadas. La bilinealidad del producto interior permite escribir este sistema de ecuaciones en la forma matricial dada.