Asintótica de Expansión de un resonador Integral

Question

Deje $g(x):\mathbb{R}_{\geq0}\rightarrow\mathbb{R}$ ser real analítica s.t. $g(0)\neq 0$ $g(x)=O(x^{-2})$ $x\rightarrow\infty$.

¿Cuál es el orden de líder en $\lambda$ $\lambda\rightarrow 0$ de la siguiente integral? $$ I(\lambda) = \int_0^{\infty}dx \cos\left(\frac{x}{\lambda}\right)x\log(x)g(x) $$

Creo que debería ser $I(\lambda)\sim -\lambda^2(\log\lambda) g(0)$ basado en la integración por partes, pero no tengo un argumento completo.

Edit: la Integración por partes y tirar subleading términos fácilmente muestra que es suficiente para demostrar que $$ J(\lambda) = \int_0^{\infty}dy \sin\left y\right)\log(y)g(\lambda y) $$ es delimitada como $\lambda\rightarrow 0$ bajo las condiciones anteriores en $g$. Experimentos numéricos sugieren que este sea el caso. Puede alguien probar, por favor?

Answer 1

Esta respuesta es un trabajo en progreso:

Siguientes Expansiones Asintóticas de las Integrales por Bleistein y Handelsman, sección 6.3, se puede utilizar el método de Mellin transforma.

Observe que $$I(\epsilon)=\int_0^\infty g(x) \ x \log({x}) \cos{\big(\epsilon x\big)} \ dx = Re\bigg[ \int_0^\infty g(x) \ x \log({x}) e^{i \epsilon x} \ dx \bigg]$$ with $\epsilon = \frac{1}{\lambda}$ and we will evaluate as $\epsilon \to \infty$.

Como $\epsilon$ se hace más grande, las oscilaciones de el integrando se vuelven más y más rápido. Estas rápidas oscilaciones tienden a inducir la cancelación de la integral en una vecindad de cada punto, excepto aquellos en los que el argumento de la exponencial tiende a cero, o la derivada del argumento va a cero. Desde $x$ es monótonamente creciente en $(0,\infty]$, el único punto es $x=0$. Por lo tanto, la principal contribución a la integral vendrá de una pequeña región cerca del origen.

Por ahora, me limitaré a decir que podemos escribir esta integral como un proceso inverso a Mellin Transformar: $$I(\epsilon) = Re \bigg[ \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \epsilon^{-z} M[e^{i\epsilon x};z] M[F_a;1-z] dz \bigg] $$ where $M[...]$ denotes the Mellin Transform of the expression and $$F_a(x) = \left\{ \begin{array}{lr} f_a & 0 \le x \le \gamma \\ 0 & x > \gamma \\ \end{array} \right.$$ with $f_a \equiv g(x) \ x \log({x})$ in a positive half-neighborhood of $0$ and goes to $0$ smoothly as $ t \a \gamma$ such that $f_a \C^\infty(0,\infty)$

Podemos, a continuación, cierre el contorno de esta expresión de $I(\epsilon)$, en la mitad derecha del plano-y teniendo en cuenta los residuos de encontrar un asintótica de expansión. Voy a citar el resultado con la explicación a seguir en un momento posterior que desde $$e^{i \epsilon x} \sim 1, \ x \to 0$$ and $$g(x) \ x \log({x}) \sim g(0) \ x \log({x}), \ x \to 0$$ we have $$I(\lambda) \sim \lambda^2 g(0) \big( \gamma_c - 1 - \log{\lambda}\big) $$ where $\gamma_c$ is the Euler-Mascheroni constant. I have verified this approximation by comparing to some numerical results for simple $g(x)$ generados por el uso de Mathematica. Para el uso de la técnica de integración por partes, estoy acostumbrado a la restricción de que las funciones deben ser infinitamente derivable sobre el intervalo cerrado de la integración. Creo que es interesante que este método produce la correcta líder plazo a pesar de que el problema en el origen.