¿Cuáles son las transformaciones afines básicas de una distribución para los distintos momentos?

Question

Para cambiar la media de una distribución, hacemos la transformación afín de traslación. Por ejemplo, añadir una constante a cada punto de datos.

Para cambiar la varianza de una distribución, hacemos la transformación afín de escala. Por ejemplo, multiplicar cada punto de datos por una constante.

¿Existen transformaciones afines canónicas similares para la curtosis, la asimetría y los momentos de alto orden?

Answer 1

No afines, sino transformaciones polinómicas, por ejemplo. Básicamente esto es necesario porque quieres cambiar varios números al mismo tiempo, y una transformación afín sólo te da dos coeficientes con los que "jugar" (supongo que estamos hablando de distribuciones en la recta real).

Si se considera una transformación de coordenadas $y=f(x)$ una función de densidad $\mathrm{p}(x)$ cambia de tal manera que $\mathrm{p}(x)\,\mathrm{d}x = \mathrm{p}(y)\,\mathrm{d}y$ donde $\mathrm{p}(y)$ es la función de densidad en las nuevas coordenadas (relacionada con la antigua mediante un determinante jacobiano).

Denote el $n$ n momento crudo en $y$ -coordenadas como $m_n := \int y^n\,\mathrm{p}(y)\,\mathrm{d}y$ y en $x$ -coordenadas como $M_n := \int x^n\,\mathrm{p}(x)\,\mathrm{d}x$ . Tomemos una transformación de coordenadas afín $y=ax+b$ . Consideremos el tercer momento bruto en $y$ -coordenadas y pasar a $x$ -coordenadas: \begin{align} m_3&=\int(ax+b)^3\,\mathrm{p}(y)\,\mathrm{d}y\\ &= a^3\int x^3\,\mathrm{p}(x)\,\mathrm{d}x +3a^2b\int x^2\,\mathrm{p}(x)\,\mathrm{d}x +3ab^2\int x\,\mathrm{p}(x)\,\mathrm{d}x +b^3\int\mathrm{p}(x)\,\mathrm{d}x \\ &= a^3 M_3 +3a^2b M_2 +3ab^2 M_1 +b^3 \end{align}

Imagina que escribes ecuaciones similares para $m_2$ y $m_1$ . Se obtiene un sistema de tres ecuaciones que da $\{m_1, m_2,m_3\}$ como polinomios de $\{M_1,M_2,M_3\}$ con los coeficientes $a$ y $b$ . Si fijas los seis momentos, puedes elegir los coeficientes de forma que se satisfagan dos ecuaciones, pero en general la restante no lo hará. Esto significa que necesitas una transformación con más de dos coeficientes. (Sin embargo, es posible que sigas sin encontrar una solución; esto está relacionado con la función problema del momento .)

Por lo demás, una función de densidad positiva en todas partes puede transformarse en cualquier otra función de densidad positiva en todas partes mediante un cambio de coordenadas adecuado, por lo que, en principio, se pueden cambiar los momentos como se quiera (dentro de los límites relacionados con el problema de los momentos).

En cuanto a la otra parte de tu pregunta, no conozco ninguna transformación canónica para la asimetría y la curtosis, pero quizá las haya.

Se trata de un tema peliagudo y fascinante. El hecho es el siguiente: desde "el punto de vista de la distribución", que es una medida, el colector sobre el que se define no necesita tener ninguna estructura adicional (sólo un espacio medible). Para que podamos hablar de una media, es necesario que el espacio tenga una estructura convexa adicional (que localmente implica una estructura afín). Con tal estructura convexa no podemos hablar de segundo momento ni de varianza. Para hablar de varianza, el espacio debe tener definida una forma cuadrática (las formas cuadráticas pueden definirse en un espacio convexo, aunque no sea un espacio vectorial; sólo tienen propiedades ligeramente distintas de las formas en un espacio vectorial). Y así sucesivamente. Así que normalmente el espacio tiene alguna estructura adicional que tiene sentido en el problema específico. Las transformaciones que consideramos tienen que ser compatibles de algún modo con esa estructura para que tengan sentido.

Esta es también la razón por la que normalizamos los momentos primero y segundo de una distribución normal, pero no normalizamos los momentos superiores: nosotros podría con una transformación adecuada, pero la distribución ya no sería una distribución normal (es decir, perteneciente a la familia normal). ¿Y cómo podemos decir que una distribución es una "normal"? Necesitamos (1) una estructura afín y (2) una forma cuadrática sobre ese espacio. [Espero que esto tenga sentido para ti, lo siento tal vez estoy siendo demasiado conciso].