Hola, ¿Es el grupo de automorfismo de un poset conectivo finito localmente contable finito o contable? Si no es así, ¿hay alguna forma de dotarlo (al grupo incontable) de una topología y una medida? Necesito esta información para un trabajo en curso sobre cuantización de conjuntos causales. Gracias
Respuesta
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El poset formado por una única anticadena contable, con todos los elementos incomparables, es localmente finito pero el grupo de automorfismo está formado por cualquier permutación de los elementos, que es un conjunto incontable.
Pero también has dicho "conectado". Si con esto quieres decir que el poset está ordenado linealmente, lo que también se describe comúnmente como el axioma de conectividad, entonces el poset debe ser un orden lineal finito, los enteros, los enteros positivos o los enteros negativos, y cada uno de estos posets tiene un grupo de automorfismo trivial.
Si en lugar de eso quieres decir que la relación de grafos subyacente al poset es un grafo conexo, entonces considera una anticadena infinita con un único punto superior por encima de todos ellos. Esto sigue siendo localmente finito, ya que todos los intervalos tienen como máximo dos elementos, y está conectado como un grafo, pero el grupo de automorfismo es de nuevo cualquier permutación de los elementos de la anticadena, que es incontablemente muchos automorfismos.
Mientras tanto, el grupo de automorfismo de cualquier estructura admite una topología natural, donde los conjuntos abiertos básicos están determinados por un trozo finito del automorfismo. Es decir, para cualquier automorfismo parcial finito $p$ de la estructura, se puede considerar el conjunto de todos los automorfismos que extienden $p$ y lo llamaremos conjunto abierto básico. Esta topología es útil en diversos contextos, pero quizás no nos has dado suficiente información sobre tu contexto para determinar si podría serte útil.
