Cómo demostrar la identidad de homomorfismo

Question

Tengo problemas para hacer el problema en http://www.math.helsinki.fi/kurssit/alggeom/h1.gif

Sea $k$ sea un anillo conmutativo y $f\in k[X_1,\ldots,X_n]$ . Sea $k^\prime,k^{\prime\prime}$ ser conmutativo $k$ -y $\varphi:k^\prime\to k^{\prime\prime}$ ser un $k$ -homorfismo. Demostrar que para cada $x\in k^{\prime n}$ tenemos $$f(\varphi^n(x^\prime))=\varphi (f(x^\prime))$$

Así que veo por definición en Cuáles son las notaciones $k^{\prime n}$ y $\varphi^n$ en álgebra? que

$$\varphi^n(x')=(\varphi(x_1'),\varphi(x_2'),\ldots,\varphi(x_n'))$$ donde $x_i'$ son los componentes de $x'$ y $(k')^n$ es $k'\times k'\times\cdots\times k'$ ( $n$ veces).

$$f(\varphi^n(x^\prime))=f((\varphi(x_1^\prime),\varphi(x_2^\prime)\ldots\varphi(x_n^\prime))).$$ ¿Pero qué teorema me permite intercambiar $f$ y $\varphi$ es decir, demostrar que $$f((\varphi(x_1^\prime),\varphi(x_2^\prime)\ldots\varphi(x_n^\prime)))=\varphi (f(x^\prime))?$$ ¿Necesito alguna inducción sobre $n$ o grado de $f$ o algún diagrama conmutativo de homomorfismo?

Answer 1

No, lo único que necesitas es que $\varphi:k^\prime\to k^{\prime\prime}$ es un $k$ -y que los coeficientes de $f$ mentir en $k$ . Se podría hacer una inducción pero es una exageración, se puede escribir directamente esto : $f := \sum a_{i_1,\ldots,i_n} X_1^{i_1} \ldots X_n^{i_n}$ con el $a_{i_1,\ldots,i_n} \in k$ y escribe $ x = (x_1,\ldots,x_n)\in {k'}^n$ . Entonces $\varphi(f(x)) = \varphi\left( \sum a_{i_1,\ldots,i_n} x_1^{i_1} \ldots x_n^{i_n} \right) = \sum a_{i_1,\ldots,i_n} \varphi(x_1)^{i_1} \ldots \varphi(x_n)^{i_n}$ porque $\varphi:k^\prime\to k^{\prime\prime}$ es un $k$ -homorfismo, y este último es lo que se llama $f(\varphi^n (x))$ . (He utilizado $x$ en lugar de $x'$ para el elemento en $k'$ .)

Answer 2

Sea $f = \sum a_{i_1i_2\cdots i_n}X_1^{i_1}X_2^{i_2}\cdots X_n^{i_n}.$ Entonces $\phi(f(x)) = \sum a_{i_1i_2\cdots i_n}\phi(x_1^{i_1})\phi(x_2^{i_2})\cdots \phi(x_n^{i_n}).$ Por otro lado, $f(\phi(x)^n) = f(\phi(x_1), \phi(x_2), \cdots , \phi(x_n)) = \sum a_{i_1i_2\cdots i_n}\phi(x_1^{i_1})\phi(x_2^{i_2})\cdots \phi(x_n^{i_n}).$