Sé que el Coulomb-Hamiltoniano $H=-\Delta - |\cdot|^{-1}$ es autoadjunto con $\operatorname{dom}(H)=H^2(\mathbb R^3)$ . Esto se deduce del teorema de Kato-Rellich.
¿Tiene la forma cuadrática correspondiente un dominio de forma de $Q(H) = H^1(\mathbb R^3)$ ?
¿Es también cierto para dimensiones mayores que $3$ ? ¿Cómo verlo?
Mis mejores deseos :)
El teorema general es XIII.96 en Reed/Simon "Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. IV: Analysis of Operators" (Academic Press, 1978). Un operador de multiplicación $V$ es $-\Delta$ -con límite relativo cero si es uniformemente local $L^p$ donde $p = 2$ si dimensión $n \leq 3$ y $p>n/2$ si $n \geq 4$ . Entonces se puede aplicar Kato-Rellich (Th. X.12 en Reed/Simon Vol. II) para obtener un operador autoadjunto $H = -\Delta + V$ con dominio $H^2(\mathbb{R}^n)$ como bien dices.
Para su potencial de Coulomb singular el $L^p$ -significa la siguiente integral (sobre una pequeña región acotada alrededor del origen, por lo que elegimos una bola $B$ con radio 1) tiene que converger. $$ \int_B |V(x)|^p d^n x $$
Para $V(x)=-|x|^{-1}$ equivale a $$ \int_0^1 r^{-p+n-1} dr < \infty. $$
Obtenemos la condición $-p+n-1 > -1$ así $n > p$ . Así que su afirmación es cierta en dimensiones $n \geq 3$ . Para los potenciales limitados desde abajo, tiene aún más opciones (es decir, localmente $L^2$ para todas las dimensiones), véase http://www.math.caltech.edu/papers/bsimon/xliv.pdf p.3 para una introducción y referencias.
La idea de utilizar formas cuadráticas podría utilizarse para incluir potenciales aún más singulares. Pero yo tendría cuidado con el dominio (se necesita algo así como $\sqrt{|V|} \psi \in L^2$ para $\psi \in H^1$ ) de la forma cuadrática, tal vez puedas encontrar algunas pistas en otro artículo de B. Simon: http://www.math.caltech.edu/SimonPapers/13.pdf
¡Que aproveche! ;-)
Esto está relacionado con un problema planteado por Tosio Kato en 1953 y no resuelto hasta 2002, unos años después de la muerte de Kato. Eche un vistazo a las referencias de esta página a la conjetura de Kato:
http://www.math.missouri.edu/~hofmann/Creo que en esencia tienes razón porque el dominio de la forma está relacionado con la raíz cuadrada del operador elíptico, y eso está relacionado con la conjetura de Kato.
http://en.wikipedia.org/wiki/Kato_conjectureNo creo que la singularidad culombiana sea un problema para lo que quieres decir.
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