$u(t,x,y)$ y $x(t) - \partial u\,\partial t ={}$ ?

Question

Dado $u(t,x) = xe^{-rt}$ y $x(t)$

qué es $\frac{\partial u}{\partial t} ={}$ ?

Me gustaría entender cómo funciona. Gracias.

Answer 1

La derivada parcial es la derivada de $u$ con respecto a uno solo de sus argumentos, como si todos los demás argumentos de los que depende fueran fijos. Así pues $\partial_t u(x,t)=\partial_t (xe^{-rt})=-rxe^{-rt}=-ru$ . En cambio, la derivada total permite que todo varíe simultáneamente y, por tanto, obedece a la regla de la cadena,

$$\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial t}=e^{-rt}\cdot x'(t)+(-rxe^{-rt}). $$