Pinball en el plano infinito

Question

Imagina un pinball en el plano infinito, con cada punto del entramado punto $\mathbb{Z}^2$ un alfiler de punta. La bola tiene radio $r < \frac{1}{2}$ . Comienza justo tocando la clavija de origen, y sale disparada en ángulo $\theta$ respecto a la horizontal. Se refleja desde los pivotes de forma natural:
         
¿Qué ocurre? Más concretamente,

Q . Para un $r$ ¿cuál es la medida del conjunto de ángulos $\theta$ para el que la bola permanece a una distancia finita del origen ¿para siempre?

Se me ocurren muchas otras preguntas, pero permítanme que por ahora me limite a esta cuestión básica.

Este problema parece superficialmente similar a problema del Huerto de Polya (por ejemplo, explorado en la pregunta MO pregunta, "Eficaces bloqueadores de visibilidad s en el problema del huerto de Polya" ), pero los reflejos producen interacciones complejas. También es similar al problema del bosque encantado de Pach, mencionado en la pregunta del modus operandi, "Rayos atrapados rebotando entre dos cuerpos convexos" , pero parece más sencillo que ese problema sin resolver, debido a la regularidad de la red. ¿Se ha considerado antes de alguna manera? Si es así, se agradecerían indicaciones. Gracias.

Anexo . Mi pregunta puede reformularse en términos del "billar del Sinaí". como explica Anthony Quas: Pregunto por el destino de los rayos radiales en la situación ilustrada:
                         

Answer 1

El problema es esencialmente el Billar Sinaí . Eso tiene lugar en una mesa cuadrada finita a la que se le ha quitado un agujero circular (=se le ha añadido un pegote). Hay rebotes estándar en los bordes rectos, así como en la clavija.

Existe un procedimiento estándar de "desdoblamiento" a través de aristas planas: basta con tomar una copia reflejada de la tabla a través de cualquier arista plana. Existe una correspondencia entre las trayectorias de la tabla desplegada y la tabla original (un reflejo en la tabla original a través de un borde plano se convierte en una trayectoria recta en la tabla desplegada).

Repitiendo esto, se obtiene exactamente el modelo de la pregunta. Sinai dio un análisis estadístico de las propiedades de la trayectoria que debe implicar que el conjunto de ángulos para los que la trayectoria permanece acotada tiene medida 0.

Answer 2

Se trata de un gas de Lorentz de horizonte infinito. La ergodicidad en el espacio extendido se ha demostrado para este modelo, pero comparativamente hace poco: D. Szasz y T. Varju, J. Stat. Phys. 129 59-80 (2007). Pero como ya se ha señalado el conjunto de condiciones iniciales tiene medida cero, por lo que esto no es suficiente en sí mismo. Las condiciones iniciales son un conjunto unidimensional liso en el espacio de colisión bidimensional completo, por lo que cabría esperar que si el conjunto de órbitas en el espacio de colisión con un límite $r$ tiene dimensión $d(r)>1$ el conjunto deseado tendrá dimensión $d(r)-1$ aproximándose a la unidad como $r\to\infty$ .

Answer 3

Se trata de una suposición temeraria, pero me pregunto si el conjunto de ángulos podría ser contable (así que considere esto una petición para que se discuta por qué podría no ser así, si lo desea). Sea el código de una trayectoria sea la secuencia de puestos alcanzados. Mi intuición salvaje es que

• Todo el código infinito debería revelar el ángulo inicial, mientras que un segmento inicial de un código posible sólo confinará el ángulo inicial a un sector.
• Una trayectoria acotada tendrá que tener un código eventualmente periódico.

Si esas dos cosas son ciertas, entonces mi conjetura se desprende de que sólo hay un número contable de códigos eventualmente periódicos. Nótese que no digo que la trayectoria realmente acotada tenga que ser eventualmente periódica (aunque sí digo que será eventualmente asintótica a una trayectoria periódica con otro punto de partida).

Habrá algunas trayectorias puramente periódicas (que parten del origen), pero sólo un número contable de ellas. Una muy aburrida tiene el código $(0,0),(1,0),(0,0),(1,0),\cdots$ . Dado otro punto de partida, habría otra cohorte contable de trayectorias puramente periódicas que comenzarían allí. Sospecho por las respuestas a otras preguntas que (para trayectorias fijas $r$ ) existe un único ángulo mágico desde el origen que con resulta en el código $(0,0),(1,1),(0,1),(1,1),(0,1),(1,1),\cdots$ El centro de la bola sigue una trayectoria asintótica al segmento de $(r,1).$ a $(1-r,1).$ Por supuesto, sería posible hacer cosas mucho más llamativas.

Pregunta al margen: ¿Hay alguna diferencia si decimos que la pelota es un punto y los postes tienen radio $r?$ Asumiré que no y especularé: "¿podría ser que con radio $r=0.48$ (digamos) que la bola acabaría arbitrariamente lejos de la salida (excepto para un conjunto de ángulos de salida de medida 0)?". Piensa en las casillas entre los postes como si fueran habitaciones. En general, la pelota rebotaría en cualquier habitación durante mucho tiempo, pero creo que seguiría un camino de borrachos bidimensional con una probabilidad de transición pequeña pero positiva.

Answer 4

Denote por $\Theta_r$ el conjunto de dichos ángulos. Me inclino a creer que el conjunto $\Theta_r$ satisface una ley de cero a uno, con un posible umbral $r_0$ . (Si $r< r_0$ a continuación, establezca $\Theta_r$ tiene medida cero, mientras que si $r>r_0$ el complemento de $\Theta_r$ tiene medida cero).

Este es mi "argumento". Fijar $r\in (0,\frac{1}{2})$ . Obsérvese que tenemos un mapa

$$T_r: S^1\to S^1$$

definida del siguiente modo. Dispara una bola que toca la clavija en el origen en la dirección $\theta$ . Denotemos por $P_r(\theta)\in\mathbb{Z}^2$ la ubicación del primer banderín tocado por la bola. Después de tocar $P_r(\theta)$ la pelota continuará viajando a lo largo de un rayo de ángulo $T_r(\theta)$ .

Claramente $\theta\in \Theta_r \Rightarrow T_r(\theta)\in \Theta_r$ . El mapa $T_r$ es biyectiva y el conjunto $\Theta_r$ es $T$ -invariante. Me inclino a creer que $T_r$ es ergódica con respecto a una medida absolutamente continua con respecto a la medida de arclitud sobre $S^1$ . Si es así, se cumple el fenómeno del cero a uno. (No me pregunten por qué tengo esta creencia ergódica).

La afirmación del umbral parece más difícil de "argumentar", pero observe que si $r=0$ entonces ningún ángulo irracional pertenece a $\Theta_r$

¡Uy! $T_r$ no es inyectiva y, de hecho, es la equivocado mapa. Aquí está el mapa correcto. Primero engorda los pines a disco de radios $r$ y reducir la bola a una partícula puntual. Consideremos el cilindro $C=S^1\times [-\pi/2,\pi/2]$ donde $S^1$ es el límite de una espiga gorda. Una partícula sale de la frontera de este alfiler gordo con una velocidad que forma un ángulo $\phi\in [-\pi/2,\pi/2]$ con la normal exterior a la frontera en el punto de partida.

Entonces $T_r: C\to C$ . Esto es casi inyectivo (aparecen problemas cuando la partícula roza el límite de una clavija). Sin embargo, preserva la medida para una medida de tipo Liouville. asociada al flujo geodésico en el plano con las clavijas gordas eliminadas. La ergodicidad no es obvia, pero la dinámica de mapas como $T_r$ están siendo investigados por los teóricos de la ergodia. (Yo no lo soy).