He estado leyendo el libro de Lurie sobre la teoría de los topos superiores, donde desarrolla la teoría de $(\infty,1)$ -topos, lo que me lleva a la siguiente pregunta: ¿Existe algún tipo de teoría de topos superior sobre el $\omega$ -donde no requerimos que todos los morfismos superiores sean invertibles?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La respuesta corta es no. Incluso los 2-topos no se entienden bien: no sabemos cuál es la definición correcta. Para dimensiones superiores, incluyendo $\infty$ , nosotros definitivamente no tienen las respuestas.
Así como el ejemplo primordial de un (1-)topos es $\mathbf{Set}$ (la categoría 1 de conjuntos y funciones), el ejemplo primordial de un 2-topos debería ser $\mathbf{Cat}$ (la 2-categoría de categorías, funtores y transformaciones naturales).
Mark Weber ha hecho algunos trabajos sobre los dos propósitos, basándose en ideas anteriores de Ross Street. Pero creo que Mark es bastante abierto sobre la naturaleza tentativa de esto hasta ahora.
Hubo un buen debate del estado actual de 2-topos (y más generalmente n-topos) en el $n$ -Categoría Café el año pasado:
David
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Hay que tener en cuenta que el libro de Jacob Lurie "sólo" (si se me permite usar esta palabra) analiza la versión (oo,1) de Las topos de Grothendieck / categoría de láminas Los (oo,1)-topos en el libro de Jacob Lurie son (oo,1)-categorías de (oo,1)-esquemas /de oo-stacks .
Esto es menos general que las "proposiciones elementales (oo,1)" que uno querría ver eventualmente, pero ya va un largo camino -- y es más accesible.
Del mismo modo, si bien falta una teoría general de n-topos para n superiores, se conoce un poco más acerca de los (oo,n)-tejidos, es decir, de las oo-pilas que son pretejidos con valores no sólo en los oo-grupoides sino en las (oo,n)-categorías.
Por ejemplo, Ross Street una vez propuso una noción de descenso para presheaves de categoría estricta-omega. Utilizando un resultado de Verity esto puede ser considerado como la presentación de la descendencia para presheaves estrictos oo-grupoides valorados, pero yo esperaría que con el cuidado requerido ejercido va más allá de eso (y esto parece ser lo que Street tenía en mente, aunque no puedo decir que con seguridad).
Pero una teoría general más desarrollada para el descenso de presheaves valorados en la categoría (oo,n) se desarrolla notablemente en la obra de Hirschowitz-Simpson Cuesta abajo para los campos n . Con ello se obtiene al menos parte de una teoría de n-propuestas al estilo de Grothendieck.
