¿Qué está aprendiendo sobre aprendizaje automático en $\mathbf Q_p$ que no se revela al trabajar sobre $\mathbf R$ y cuál es su intuición que sugiere que PCA debería tener un análogo en $\mathbf Q_p^n$ ?
Análisis de componentes principales para mapas lineales $\mathbf R^m \to \mathbf R^n$ está estrechamente ligada al hecho de que las simétricas reales $n \times n$ matrices tienen todos los valores propios reales (una base de vectores propios ortogonales), y la importancia de la simétrica $n \times n$ matrices $A$ en $\mathbf R$ es su enlace con el producto punto estándar en $\mathbf R^n$ : $$ \mathbf v \cdot A\mathbf w = A^\top \mathbf v \cdot \mathbf w = A\mathbf v \cdot \mathbf w $$ cuando $A^\top = A$ . La prueba de que todos los valores propios de una simétrica real $n \times n$ matriz son reales proviene del hecho de que hay un conjunto completo de eignevalues en $\mathbf C$ una extensión cuadrática de $\mathbf R$ y la interacción entre el producto interior hermitiano sobre $\mathbf C^n$ y conjugado-transpone para mostrar todos los valores propios $\lambda$ de $A$ en $\mathbf C$ satisfacer $\overline{\lambda} = \lambda$ y así $\lambda \in \mathbf R$ . El cierre algebraico de $\mathbf Q_p$ es de dimensión infinita sobre $\mathbf Q_p$ por lo que los valores propios de $p$ -adic $n \times n$ no tienen por qué estar en una extensión cuadrática de $\mathbf Q_p$ cuando $n \geq 3$ .
El producto interior sobre $\mathbf R^n$ está relacionada con la ortogonalidad y la interpretación de la ortogonalidad en términos de aproximación única más cercana en un hiperplano: para un vector $\mathbf v$ en $\mathbf R^n$ e hiperplano $H$ que no contenga $\mathbf v$ la proyección ortogonal de $\mathbf v$ en $H$ es el único elemento $\mathbf w$ de $H$ tal que $\mathbf v - \mathbf w \perp \mathbf w$ . No hay productos internos útiles en $\mathbf Q_p^n$ ¿Qué podría hacer un $\mathbf R$ -mapa bilineal $\mathbf Q_p^n \times \mathbf Q_p^n \to \mathbf R$ ¿ser? El término base ortogonal existe en $p$ -pero sólo tiene un análogo aproximado de la propiedad de "mejor aproximación" de las proyecciones ortogonales en $\mathbf R^n$ y no corresponde a ningún tipo de vector único en un hiperplano.
A diferencia de las matrices simétricas reales, las matrices simétricas sobre $\mathbf Q_p$ no necesita tener valores propios en $\mathbf Q_p$ . Por ejemplo, si $p$ es un primo impar entonces siempre hay al menos un $t \in \mathbf F_p^\times$ tal que $t$ es un cuadrado y $t+1$ es un no cuadrado. Sea $a \in \mathbf Z_p^\times$ satisfacer $t \equiv a^2 \bmod p$ y establece $$ M = \begin{pmatrix} a&1/2\\1/2&0 \end{pmatrix} $$ El polinomio característico de $M$ es $x^2 - ax - 1/4$ que tiene valores propios $(a \pm \sqrt{a^2 + 1})/2$ . Estos valores propios están en $\mathbf Q_p$ sólo si $a^2 + 1$ es un cuadrado en $\mathbf Q_p$ . Desde $a^2 + 1 \equiv t+1 \bmod p$ , $a^2 + 1 \in \mathbf Z_p^\times$ . Además, puesto que $t + 1$ no es un cuadrado en $\mathbf F_p^\times$ , $a^2 + 1$ no es un cuadrado en $\mathbf Z_p^\times$ y así $a^2+1$ no es un cuadrado en $\mathbf Q_p$ . Así $M$ es un simétrico $2 \times 2$ matriz sobre $\mathbf Q_p$ sin valores propios en $\mathbf Q_p$ .
Para $p = 2$ la matriz simétrica $$ \begin{pmatrix} 2&1\\1&0 \end{pmatrix} $$ tiene el polinomio característico $x^2 - 2x - 1$ y sus raíces $1 \pm \sqrt{2}$ no te acuestes en $\mathbf Q_2$ .
