Función continua $f(\vartheta A)$ donde $A$ es una matriz hermitiana

Question

Consideremos las matrices $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ definido como:

$A_{1}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{cc}0 & -i \\ i & 0\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right) .$

Si una matriz $A$ se define por $A=n_{1} A_{1}+n_{2} A_{2}+n_{3} A_{3}$ donde $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ son constantes reales que cumplen $n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1$

(a) Demuestra que $A$ es un Matriz hermitiana .

(b) Hallar los valores propios de la ecuación de valores propios $A|\lambda\rangle=\lambda|\lambda\rangle .$ Si denotamos $|+\rangle$ y $|-\rangle$ sean vectores propios normalizados, hallar $|+\rangle\langle+|$ y $|-\rangle\langle-|$ del teorema espectral.

(c) Demuestra que

$f(\vartheta A)=\frac{f(\vartheta)+f(-\vartheta)}{2} I+\frac{f(\vartheta)-f(-\vartheta)}{2} A$

donde $I=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ y $f(x)$ es una función continua.

Answer 1

_Nota: la pregunta hace uso del Notación bra-ket de Dirac . ampliamente utilizado (y muy conveniente) en mecánica cuántica (pero no es estrictamente necesario aquí y no es muy utilizado por los matemáticos, por lo que intentaré evitarlo)._

a) La matriz $A$ es hermitiana porque es una combinación lineal (con coeficientes reales) de matrices hermitianas.

b) Lo has hecho, pero permíteme decir (para mayor claridad) que esta pregunta utiliza la notación bra-ket de Dirac: formalmente los vectores propios normalizados satisfacen $ A |+\rangle\ = |+\rangle\ $ y $ A |-\rangle\ = - |-\rangle\ $ . Según esta notación, los operadores $P_-=|-\rangle\langle-|$ y $P_+=|+\rangle\langle+|$ son las proyecciones a lo largo de los dos vectores propios. La identidad puede expresarse como $\mathbb{1} = P_+ + P_-$ .

c) Supongamos que puede ampliar $f$ como una serie de potencias (de lo contrario, la pregunta no tiene mucho sentido), $$ f(x) = \sum_m a_m x^m $$ Por lo tanto, utilizando $A= P_+ - P_-$ y $P_-^m = P_-$ (y lo mismo para $P_+$ ), tiene $$ f(t A) = \sum_m a_m t^m A^m = \sum_m a_m t^m [P_{+}^m -mP_{+}^{m-1} P_{-}^m+... + (-P_{-})^m] $$ Sin embargo, $P_- P_+ = 0 $ porque se proyectan sobre subespacios ortogonales, de modo que $$ f(t A) = \sum_m a_m t^m A^m = \sum_m a_m t^m (P_{+}^m +(-P_{-})^m) = \sum_m a_m t^m [ P_{+} + (-1)^m P_{-} ] \\ = \sum_m a_m t^m P_{+} + \sum_m a_m (-t)^m P_{-} = f(t) P_+ + f(-t) P_- $$ Utilizando $A= P_+ - P_-$ y $\mathbb{1} = P_+ + P_-$ tienes la tesis.