¿Hay algún contraejemplo?

Question

¿Es cierto? Si $f$ y $g $ son funciones continuas , y si $f\circ g$ es cerrado(abierto) , ni $g$ ni $f$ ¿es necesariamente cerrado(abierto)?

Answer 1

Sea $f:I\hookrightarrow \Bbb R$ es la inclusión del intervalo unitario en la recta real, y sea $g:\Bbb R \twoheadrightarrow I$ ser el envío de la retracción $(-\infty,0]$ a $\{0\}$ y $[1,\infty)$ a $\{1\}$ . Entonces $gf$ es un homeomorfismo $I\approx I$ por lo tanto abierto, pero tampoco $f$ ni $g$ están abiertos.

• $f$ mapea el abierto $I$ a la no abierta $I.$
• $g$ mapea el abierto $(-2,-1)$ a la no abierta $\{0\}.$

Sin embargo, si $gf$ está abierto, $g$ y $f$ son continuos, y ...

• ... si $g$ es inyectiva, entonces $f$ debe estar abierto.
• ... si $f$ es suryectiva, entonces $g$ debe estar abierto.

Para una explicación, véase En qué condiciones $f$ y $g$ ¿son mapas abiertos?