¿Cómo resolver esta EDO no lineal?

Question

Se trata de una EDO no lineal.

$$x(4ydx+2xdy)+y^3(3ydx+5xdy)=0$$

No puedo resolverlo dividiendo $x$ y $y$ en dos partes.

Además, si dejo que $\frac{dU}{dy}=2x^2+5xy^3$ y $\frac{dU}{dx}=4xy+3y^4$ , $\frac{d^2U}{dxdy}$ no será igual a $\frac{d^2U}{dydx}$ .

Answer 1

$$(4xy+3y^4)dx+(2x^2+5xy^3)dy=0$$ No se trata de un diferencial exacto. Para hacerla exacta tenemos que encontrar un factor integrador $\mu(x,y)$ para que $$(4xy+3y^4)\mu dx+(2x^2+5xy^3)\mu dy=0$$ sea una diferencial exacta, lo que implica : $$\frac{\partial}{\partial y}\bigg((4xy+3y^4)\mu\bigg) =\frac{\partial}{\partial x}\bigg((2x^2+5xy^3)\mu\bigg)$$ Un factor integrador es : $$\mu=x^2y$$ Esto se puede encontrar por intuición, o por ensayo y error o por inspección (en caso de ejercicio académico se puede intentar $\mu=x^ay^b$ y determinar $a$ y $b$ ). Por supuesto existe un método más fiable y lo utilicé para encontrar $\mu=x^2y$ . Pero esto implica cálculos más complicados, demasiado aburridos para editarlos aquí.

Por lo tanto, tenemos que resolver : $$(4x^3y^2+3x^2y^5)dx+(2x^4y+5x^3y^4)dy=0$$ Se trata de una diferencial exacta : $$d(x^4y^2+x^3y^5)=0$$ $$x^4y^2+x^3y^5=C$$

Answer 2

Sustituir $$y(x)=\sqrt[3]{v(x)}$$ y obtenemos $$2x^2v'(x)+9v(x)^2+x(5v'(x)+12)v(x)=0$$ ahora $$v(x)=xu(x)$$ entonces obtenemos $$x^2(2xu'(x)+14u(x)^2+(5xu'(x)+14u(x))u(x))=0$$ esto es $$\frac{du(x)}{dx}=-\frac{14(u(x)^2+u(x))}{x(5u(x)+2)}$$