Función holomórfica tal que $\theta\left(z+\omega_j\right)=a_j\theta\left(z\right)$ satisface $\theta\left(z\right)=ae^{bz}$ .

Question

Estoy intentando resolver el siguiente ejercicio:

Sea $\mathbb{Z}\omega_1+\mathbb{Z}\omega_2$ sea una red en $\mathbb{C}$ y que $\theta$ sea una función entera tal que exista $a_1,a_2\in\mathbb{C}$ tal que $\theta\left(z+\omega_j\right)=a_j\theta\left(z\right)$ para todos $z\in\mathbb{C}$ y $j\in\left\{1,2\right\}$ . Demostrar que $\theta\left(z\right)=ae^{bz}$ para algunos $a,b\in\mathbb{C}$ .

Por lo tanto, si $\theta=0$ no hay nada que probar. Supongamos $\theta\neq 0$ . Observe que $a_1\neq0\neq a_2$ porque $\theta\left(z\right)=a_j\theta\left(z-\omega_j\right)$ y $\theta\neq 0$ .

Si $a_1=a_2=1$ entonces $\theta$ es una función elíptica entera y por lo tanto es constante, y esto prueba lo que queremos (tomar $b=0$ ). Supongamos que al menos una $a_j$ no es igual a $1$ . De ello se deduce que $\theta\neq 0$ no puede ser constante, ya que de lo contrario $a_1=a_2=1$ .

Desde $\theta'$ cumple las mismas condiciones que $\theta$ sí, supongamos que podemos demostrar lo que queremos para $\theta'$ . Si $\theta'=ae^{bz}$ no podemos tener $b\neq 0$ ya que de lo contrario $\theta=az+c$ para algunos $c\in\mathbb{C}$ lo que demuestra que $a\neq 0$ (porque $\theta$ no es constante) y luego, utilizando la hipótesis sobre $\theta$ y comparando coeficientes, obtendríamos $a=a_ja$ lo que implica $a_1=a_2=1$ una contradicción. Así que $\theta'=ae^{bz}$ donde $b\neq 0$ (y $a\neq 0$ porque $\theta$ no es constante), y por tanto $\theta=\frac{1}{b}\theta'+d$ para algunos $d\in\mathbb{C}$ . Usando que ambos $\theta$ y $\theta'$ satisfacen las condiciones del enunciado, se obtiene fácilmente $d=a_jd$ Así que $d=0$ porque al menos una $a_j$ no es igual a $1$ . Así que $\theta=\frac{1}{b}ae^{bz}$ también tiene la forma deseada.

El párrafo anterior muestra que si probamos el problema para $\theta'$ entonces también se resuelve para $\theta$ (suponiendo que $\theta\neq 0$ y al menos una $a_j$ no es igual a $1$ ). No sé si ayuda.

Otra idea que tuve fue la siguiente: seguir asumiendo $\theta\neq 0$ y al menos una $a_j$ no es igual a $1$ (los otros casos ya fueron tratados) y considerar la función meromorfa $\psi=\frac{\theta'}{\theta}$ . Puesto que ambos $\theta$ y $\theta'$ cumplen las condiciones de la declaración y $a_1\neq 0\neq a_2$ (porque $\theta\neq 0$ ), se demuestra fácilmente que $\psi$ es una función elíptica. Así que si pudiéramos demostrar que es entera, habríamos terminado: sería constante y eso daría lo que queremos. Pero claro, $\psi$ puede no ser holomorfa: $\theta$ puede tener algunos ceros. Pensé en usar el párrafo anterior y tomar suficientes derivadas de $\theta$ para deshacerse de los posibles ceros, pero por supuesto no funciona porque tomar derivadas puede introducir nuevos ceros.

¿Cómo resolvería este problema?

Answer 1

Primero elige $b \in \Bbb C$ tal que $e^{\omega_1 b} = a_1$ y definir $g(z) = e^{-bz} \theta(z)$ . Entonces $$ g(z+\omega_1) = e^{-b(z+\omega_1)} a_1 \theta(z) = g(z) \, , $$ es decir $g$ es $\omega_1$ -periódico. De ello se deduce que $$ g(z) = h\left( e^{2\pi i z/\omega_1}\right) $$ donde $h$ es holomorfa en $\Bbb C\setminus \{ 0 \}$ . $h$ puede convertirse en una serie de Laurent $$ h(w) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n w^n \, . $$

Ahora usamos ese $\theta(z+\omega_2) = a_2 \theta(z)$ de modo que $$ g(z+\omega_2) = e^{-b(z+\omega_2)} a_2 \theta(z) = B g(z) $$ con $B= e^{-b\omega_2}a_2$ . De ello se deduce que $$ h(e^{2\pi i \omega_2/\omega_1} w) = B h(w) $$ para todos $w \ne 0$ . Sustituyendo esto en la serie de Laurent de $h$ implica que $$ c_n \left( e^{2\pi i n\omega_2/\omega_1} - B\right) = 0 $$ para todos $n$ . El valor absoluto de $e^{2\pi i n\omega_2/\omega_1}$ no lo es porque $\omega_2/\omega_1$ no es un número real. De ello se deduce que $ e^{2\pi i n\omega_2/\omega_1} - B=0$ sólo puede mantenerse para un índice como máximo $n$ . Así que tenemos $$ h(w) = c_m w^m $$ para algunos $m \in \Bbb Z$ de modo que $$ g(z) = c_m e^{2\pi i m z/\omega_1} $$ y $$ \theta(z) = c_m e^{bz }e^{2\pi i m z/\omega_1} $$ tiene la forma deseada.