Pruebas de normalidad en un grupo

Question

Sea H un subgrupo normal de G. Supongamos que $ab \in H$ . Mostrar $ba\in H$ . Consideremos el conjugado de $ab\in H$ con el elemento $b$ .

Mi pregunta es cuál es el conjugado de un $ab$ con $b$ ?

También la segunda parte de la pregunta es, Si H es un subgrupo de G y satisface la propiedad de que $ab \in H$ implica $ba\in H$ demuestre que H es normal en G.

Creo que la segunda debería ser un poco más fácil una vez resuelta la primera parte, quizás vea algo, pero algo de ayuda estaría bien también en esta parte.

Answer 1

Definición: dos elementos $\;x,y\;$ en un grupo $\;G\;$ se llaman conjugar si existe $\;g\in G\;$ s.t. $\;y=g^{-1}xg\;$

$$(1)\;\;ba=a^{-1}\left(ab\right)a$$

Ahora bien, si $\;ab\in H\iff ba\in H\;$ entonces para $\;h\in H\;,\;\;x\in G\;$ :

$$x^{-1}hx=x^{-1}\left(hx\right)\in H\iff(hx)x^{-1}\in H$$

y como la última contención es trivial obtenemos que $\;x^{-1}hx\in H\implies H\lhd G\;$